Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 20 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) alüminyum malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 40 mm, uzunluk 500 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,2 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø40 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 25 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 120 MPa), alüminyum malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 120 mm, iç çap 50 mm, E = 70 GPa, izin verilen gerilme 70 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaboru: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir mil 200 N·m tork taşımalıdır. İç çapı dış çapının 0,75 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 50 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir mil, kayma gerilmesi 50 MPa değerini aşmadan 1800 dev/dk’da 5 kW iletmeli. Uygun en küçük çap d değerini bulun.

P = 5 kWN = 1800 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1,5 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P₁ tekil yükünü ve C’de P₂ tekil yükünü taşır. P₁ yükünün altındaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 7,5 mP₁ = 65 kN @ 4 mP₂ = 45 kN @ 7,5 mmesnetler x = 0 ve x = 6 m konumlarında

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş, açıklığının bir kısmında düzgün yayılı yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 6 mw = 12 kN/m, 3 ile 5 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 10 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σ_alt değerini bulun.

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mmM = 10 kN·m

σ_alt = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −80 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = −80 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 120 MPa, σᵧ = 70 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 20° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 120 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü ve serbest ucunda P tekil yükü taşır. Süperpozisyon kullanarak serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

P = 17 kNw = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

75 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/300 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 1,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 75 mm

h_req = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 45 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 45 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 16,6 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1257) = 5,684 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,2/1,205 × 10⁻⁵ = 16597 N = 16,6 kN

Cevap

P = 16,6 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 451,4 kN

Alanlar

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·9346 = 7,524 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,0006, 0,001) = 0,0006 (çelik)

En büyük yük

P_max = 0,0006·7,524 × 10⁸ = 451447 N = 451,4 kN

Cevap

P_max = 451,4 kN

3.Millerin burulması

Cevap: d_o = 31 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·50·0,6836)) = 31 mm

d_i = 0,75·31 = 23,25 mm

Cevap

d_o = 31 mm

Dolu bir mil d = 27,31 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 13,93 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 5000/188,5 = 26,53 N·m

Emniyet gerilmesinden çap

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·26526/(π·50)) = 13,93 mm

Cevap

d = 13,93 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 41,67 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 65·4 + 45·7,5

R_B = 597,5/6 = 99,58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 99,58 = 10,42 kN

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun

M_x = R_A·4 = 10,42·4 = 41,67 kN·m

Cevap

M_x = 41,67 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 26,67 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·2·4

R_B = 96/6 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 16 = 8 kN

Sıfır kesme kuvveti

Kesme kuvveti R_A ile başlar, yüksüz kısımlarda sabit kalır ve yükün içinde w eğimiyle azalır.

R_A − w·(x₀ − 3) = 0

x₀ = 3 + 8/12 = 3,667 m

En büyük moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 3)²/2 = 8·3,667 − 12·0,6667²/2 = 26,67 kN·m

Cevap

M_max = 26,67 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 56,94 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 280 + 20/2 = 290 mm

gövde: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·290 + 2800·140)/7200 = 231,7 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 220·20³/12 + 4400·(290 − 231,7)² = 1,512 × 10⁷ mm⁴

gövde: 10·280³/12 + 2800·(140 − 231,7)² = 4,182 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,512 × 10⁷ + 4,182 × 10⁷ = 5,694 × 10⁷ mm⁴ = 56,94 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 56,94 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_alt = 91,81 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 220·20 = 4400 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

gövde: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4400·210 + 1600·100)/6000 = 180,7 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 220·20³/12 + 4400·(210 − 180,7)² = 3,933 × 10⁶ mm⁴

gövde: 8·200³/12 + 1600·(100 − 180,7)² = 1,574 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,933 × 10⁶ + 1,574 × 10⁷ = 1,968 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Alt kenar eksenden ȳ uzaklıktadır.

y = 180,7 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·180,7/1,968 × 10⁷ = 91,81 MPa

Cevap

σ_alt = 91,81 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 94,34 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((−80 − 80)/2)² + −50²) = 94,34 MPa

Cevap

τ_max = 94,34 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = −39,05 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −25·0,6428 + −30·0,766 = −39,05 MPa

Cevap

τ_θ = −39,05 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 20,24 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 17000 N, w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(3EI) = 17000·1500³/(3·1,32 × 10¹²) = 14,49 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 5,753 mm

Toplayın

δ = 14,49 + 5,753 = 20,24 mm

Cevap

δ = 20,24 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 154 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·3500⁴/(384·11000·11,67) = 2,284 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·2,284 × 10⁷/75)^1/3 = 154 mm

Cevap

h_req = 154 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 26,32 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·1000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/2000² = 26319 N = 26,32 kN

Cevap

P_cr = 26,32 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 107,5 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 107,5 mm

Cevap

d = 107,5 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 446,3, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Mukavemet: hızlı tekrar paketi

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Millerin burulması

Yöntem

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Yöntem

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Yöntem

Kiriş sehimi

Kolon burkulması

2Alıştırma soruları

3Çözeltiler

Alanlar

Esneklikler

Yük

Cevap

Alanlar

Birleşik eksenel rijitlik

Belirleyici birim şekil değiştirme

En büyük yük

Cevap

Emniyet gerilmesinden dış çap

Cevap

Tork

Emniyet gerilmesinden çap

Cevap

Mesnet tepkileri

P1 altından kesin ve sol parçayı tutun

Cevap

Mesnet tepkileri

Sıfır kesme kuvveti

En büyük moment

Cevap

İki dikdörtgene ayırın

Ağırlık merkezi

Paralel eksen teoremi

Cevap

İki dikdörtgene ayırın

Ağırlık merkezi

Paralel eksen teoremi

Eğilme gerilmesi

Cevap

Mohr dairesinin yarıçapı

Cevap

Dönüşüm denklemi

Cevap

Tutarlı birimler

Her yük tek başına

Toplayın

Cevap

Tutarlı birimler

Sehim sınırı

Gereken atalet momenti

Gerekli yükseklik

Cevap

En küçük atalet momenti

Burkulma boyu

Kritik yük

Cevap

Gereken kritik yük

Çap için çözün

Cevap

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun