Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 30 mmPirinç2 mP = 110 kN

pirinç çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 110 kNd = 30 mmL = 2 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
100 kN12400 mm500 mmØ20Ø50σ2​ = ?

çelik bir kesim (çap 20 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) ile alüminyum malzemeden yapılmış bir kesim (çap 50 mm, uzunluk 500 mm, E = 70 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 100 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ2 bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: alüminyum, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.Millerin burulmasıOrta
d1​ = 75 mmd2​ = 30 mmT = 250 N·mABC1,2 m3 m

Kademeli dolu bir çelik mil A’da ankastredir. AB parçasının çapı 75 mm ve uzunluğu 1,2 m; BC parçasının çapı 30 mm ve uzunluğu 3 m’dir. Serbest uç C’de 250 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısı φC değerini derece cinsinden bulun.

T = 250 N·md1 = 75 mm, L1 = 1,2 md2 = 30 mm, L2 = 3 mG = 80 GPa
φC = °
4.Millerin burulmasıZor
d = 25 mmT0​ = 750 N·mACBa = 1 mb = 1,5 m

25 mm çaplı dolu bir pirinç mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 1 m ve B’den 1,5 m uzaklıktaki C’de 750 N·m tork uygulanıyor. A duvarındaki tepki torku TA değerini bulun.

d = 25 mmT0 = 750 N·ma = 1 mb = 1,5 m
TA = N·m
5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
w = 10 kN/mABkesit4,5 m1,5 m

A mesnedinden x = 4,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mw = 10 kN/m, 0 ile 6 m arasındax = 4,5 m
Mx = kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
6 kN/m10 kN55 kN55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

10 kN @ 0 m55 kN @ 6 m55 kN @ 3 m6 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
300120t = 20ȳ = ?boyutlar mm cinsinden

Bir U kesit açık tarafı yukarıda duruyor: 300 mm genişliğinde bir taban levhası ve toplam 120 mm yüksekliğinde iki dik kol. Taban ve kolların hepsi 20 mm kalınlığındadır. Ağırlık merkezinin alt kenardan yüksekliği ȳ değerini bulun.

b = 300 mmh = 120 mmt = 20 mm
ȳ = mm
8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
150 mm150 mm52,5 mm60 × 30xIx​ = ?

150 mm × 150 mm boyutlarındaki bir levhada, 60 mm genişliğinde ve 30 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 52,5 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 150 mmh = 150 mmkesik: 60 × 30 mmdelik merkezi: y = 52,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = −60σy​ = 110τxy​ = −40MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −60 MPa, σᵧ = 110 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τmax değerini bulun.

σx = −60 MPaσy = 110 MPaτxy = −40 MPa
τmax = MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​τxy​milin yüzeyi

40 mm çaplı dolu bir mil, 1000 N·m tork ile birlikte 80 kN eksenel basınç kuvveti taşıyor. Milin yüzeyinde en büyük asal gerilme σ1 değerini bulun.

d = 40 mmF = −80 kNT = 1000 N·m
σ1 = MPa
11.Kiriş sehimiOrta
w = 8 kN/mδL = 1,5 m

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Kiriş sehimiZor
w = 8 kN/mδL = 5 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti Ireq değerini bulun.

w = 8 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Kolon burkulmasıOrta
PL = 4 md = 60 mmkesit

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm
Pcr = kN
14.Kolon burkulmasıZor
PL = 6 md = 60 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σcr değerini bulun.

L = 6 mE = 200 GPa (çelik)d = 60 mm
σcr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 1556 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 110·1000/706,9 = 155,6 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 155,6/100000 = 0,001556 = 1556 µε

Cevap

ε = 1556 µε
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ2 = 32,41 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm
k₂ = 70000·1963/500 = 274889 N/mm

2. kesimin payı

F2 = 100000·274889/431969 = 63636 N

Gerilme

σ2 = 63636/1963 = 32,41 MPa (basınç)

Cevap

σ2 = 32,41 MPa
3.Millerin burulması

Cevap: φC = 6,824 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momentleri

J1 = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Her parçanın burulması

T = 250 N·m = 250000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 250000·1200/(80000·3,106 × 10⁶) = 0,001207 rad
φBC = 250000·3000/(80000·79522) = 0,1179 rad

Toplam burulma

φC = 0,001207 + 0,1179 = 0,1191 rad = 6,824°

Cevap

φC = 6,824°
4.Millerin burulması

Cevap: TA = 450 N·m

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·1,5/2,5 = 450 N·m
TB = 750·1/2,5 = 300 N·m

Cevap

TA = 450 N·m
5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 33,75 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·6 = 10·6·3
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
w = 10 kN/mABRA​ = 30RB​ = 30kesit4,5 m1,5 m

x = 4,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 30·4,5 − 10·4,5·2,25 = 33,75 kN·m

Cevap

Mx = 33,75 kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: F (x = 5 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 38,25 kN, R2 = 105,8 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = −10, MC = 15,25, MD = 34,5, ME = −7,25, MF = −55 kN·m, MG = 0

Cevap

İşaret F: MF = −55 kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: ȳ = 34 mm

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dikdörtgenlere ayırın

Tabanı tam genişlikte ve iki kolu onun üstünde (yükseklik h − t) alın; böylece hiçbir şey iki kez sayılmaz.

baz: A1 = 300·20 = 6000 mm², y1 = 10 mm
iki kol: A2 = 2·20·100 = 4000 mm², y2 = 20 + 100/2 = 70 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (6000·10 + 4000·70)/10000 = 34 mm

Cevap

ȳ = 34 mm
8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 41,06 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (22500·75 − 1800·52,5)/(22500 − 1800) = 76,96 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

150·150³/12 + 22500·−1,957² = 42,27 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

60·30³/12 + 1800·−24,46² = 1,212 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 41,06 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 41,06 × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τmax = 93,94 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

στxyCτmax​

Mohr dairesinin yarıçapı

τmax = R = √(((−60 − 110)/2)² + −40²) = 93,94 MPa

Cevap

τmax = 93,94 MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ1 = 53,88 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Yüzeydeki gerilmeler

σ = F/A = −80000/(π·40²/4) = −80000/1257 = −63,66 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79,58 MPa
στxyCσ1​σ2​

Mohr dairesi

C = σ/2 = −31,83 MPa
R = √((−31,83)² + 79,58²) = 85,71 MPa
σ1 = C + R = 53,88 MPa
σ2 = C − R = −117,5 MPa

Cevap

σ1 = 53,88 MPa
11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 3,144 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 8·1500⁴/(8·1,61 × 10¹²) = 3,144 mm

Cevap

δ = 3,144 mm
12.Kiriş sehimi

Cevap: Ireq = 426,1 × 10⁶ mm⁴

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Sehim sınırı

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·8·5000⁴/(384·11000·13,89) = 4,261 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 426,1 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ireq = 426,1 × 10⁶ mm⁴
13.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 6,867 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·4000 = 8000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/8000² = 6867 N = 6,867 kN

Cevap

Pcr = 6,867 kN
14.Kolon burkulması

Cevap: σcr = 25,18 MPa

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/15 = 280

Kritik gerilme

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25,18 MPa

Cevap

σcr = 25,18 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials