Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 20 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) bronz malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 40 mm, uzunluk 400 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,4 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir çubuk (çap 40 mm, E = 200 GPa, izin verilen gerilme 160 MPa), pirinç malzemeden yapılmış bir borunun (dış çap 100 mm, iç çap 50 mm, E = 100 GPa, izin verilen gerilme 100 MPa) içinde duruyor. Rijit levhalar arasında birlikte sıkıştırılıyorlar. En büyük yükü P_max bulun.

çubuk: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaboru: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir pirinç mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 500 N·md = 30 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 750 dev/dk’da 75 kW iletiyor. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

P = 75 kWN = 750 rpmd_o = 80 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P₁ tekil yükünü ve C’de P₂ tekil yükünü taşır. B mesnedindeki eğilme momenti M_B değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mP₁ = 10 kN @ 2,5 mP₂ = 10 kN @ 6 mmesnetler x = 0 ve x = 5 m konumlarında

M_B = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

60 kN @ 6 m20 kN @ 2 m12 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

100 mm × 200 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 70 mm yukarıda olan 30 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 100 mmh = 200 mmd = 30 mmdelik merkezi: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

100 mm × 150 mm boyutlarındaki bir levhada, 50 mm genişliğinde ve 40 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 45 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 100 mmh = 150 mmkesik: 50 × 40 mmdelik merkezi: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 50 MPa, σᵧ = 70 MPa ve τₓᵧ = 60 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 50 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 90 MPa, σᵧ = −20 MPa ve τₓᵧ = −50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 45° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 90 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 45°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 5 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 15 kNw = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 5 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 36,86 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1257) = 2,894 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,4/1,085 × 10⁻⁵ = 36861 N = 36,86 kN

Cevap

P = 36,86 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P_max = 672,3 kN

Alanlar

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Birleşik eksenel rijitlik

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5890 = 8,404 × 10⁸ N

Belirleyici birim şekil değiştirme

ε = min(0,0008, 0,001) = 0,0008 (çelik)

En büyük yük

P_max = 0,0008·8,404 × 10⁸ = 672301 N = 672,3 kN

Cevap

P_max = 672,3 kN

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 18,47 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(39000·79522) = 0,3224 rad

φ = 0,3224·180/π = 18,47°

Cevap

φ = 18,47°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 13,9 MPa

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Polar atalet momenti

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

En büyük kayma gerilmesi

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·40/2,749 × 10⁶ = 13,9 MPa

Cevap

τ_max = 13,9 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_B = −10 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·2,5 + 10·6

R_B = 85/5 = 17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 17 = 3 kN

B’den kesin ve çıkmayı tutun

Çıkmaya yalnızca P₂ etkir, moment kolu a’dır. Kirişi mesnet üzerinde yukarı doğru eğer (negatif moment).

M_B = −P₂·a = −10·1 = −10 kN·m

Cevap

M_B = −10 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: F (x = 5 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 30 kN, R₂ = 110 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 24, M_C = 36, M_D = 16, M_E = −16, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

Cevap

İşaret F: M_F = −60 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 65,97 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (20000·100 − 706,9·70)/(20000 − 706,9) = 101,1 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

100·200³/12 + 20000·−1,099² = 66,69 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·30⁴/64 + 706,9·−31,1² = 0,7234 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 65,97 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 65,97 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 25,78 × 10⁶ mm⁴

Ağırlık merkezi

ȳ = (15000·75 − 2000·45)/(15000 − 2000) = 79,62 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

100·150³/12 + 15000·−4,615² = 28,44 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

50·40³/12 + 2000·−34,62² = 2,663 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 25,78 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 25,78 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 49,73 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·60, 50 − 70) = 99,46°

Elemandaki açı

θ_p = 49,73°

Cevap

θ_p = 49,73°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = −15 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 35 + 55·0 + −50·1 = −15 MPa

Cevap

σ_θ = −15 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 19,05 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 5·4000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 19,05 mm

Cevap

δ = 19,05 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 35,16 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 15000 N, w = 20 N/mm, L = 3000 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 15000·3000³/(48·8,4 × 10¹¹) = 10,04 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 25,11 mm

Toplayın

δ_max = 10,04 + 25,11 = 35,16 mm

Cevap

δ_max = 35,16 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 4,318 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·5000 = 10000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/10000² = 4318 N = 4,318 kN

Cevap

P_cr = 4,318 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 24,48 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/12,5 = 168

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/168² = 24,48 MPa

Cevap

σ_cr = 24,48 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials