Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 40 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) bakır malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 40 mm, uzunluk 300 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,3 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø40 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) ile bronz malzemeden yapılmış bir kesim (çap 30 mm, uzunluk 200 mm, E = 110 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 80 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: bronz, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

1,2 m uzunluğundaki dolu bir alüminyum mil 200 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 1,5°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 200 N·mL = 1,2 mG = 26 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

40 mm çaplı dolu bir alüminyum mil A’da ankastredir. A’dan 1,5 m uzaklıktaki B’de 2000 N·m tork, ondan 2,5 m daha ötedeki serbest uç C’de ise ters yönde 500 N·m tork etkir. C ucunun burulma açısının büyüklüğü φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 40 mmT_B = 2000 N·mT_C = 500 N·mAB = 1,5 mBC = 2,5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Kiriş A’da sabit mafsala ve B’de kayıcı mesnede oturur ve B’den serbest uç C’ye kadar 1,5 m çıkma yapar. Mesnetler arasında P₁ tekil yükünü ve C’de P₂ tekil yükünü taşır. P₁ yükünün altındaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6,5 mP₁ = 70 kN @ 1,5 mP₂ = 15 kN @ 6,5 mmesnetler x = 0 ve x = 5 m konumlarında

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

15 kN @ 6 m15 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Dairesel bir borunun dış çapı D = 70 mm ve iç çapı d = 50 mm’tür. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

D = 70 mmd = 50 mm

r = mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

200 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, 50 mm genişliğinde ve 50 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 210 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 200 mmh = 300 mmkesik: 50 × 50 mmdelik merkezi: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 140 MPa ve σᵧ = 70 MPa’dır. En büyük asal gerilme 160 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = 140 MPaσ_y = 70 MPaσ₁ = 160 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 10 MPa, σᵧ = 20 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 35° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 10 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 3 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 8 kNa = 3 mL = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Kiriş sehimiZor

Bir ucu ankastre, diğer ucu mesnetli kiriş A’da ankastre, B’de basit mesnetlidir. Tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. EI sabittir. Mesnetteki tepki R_B değerini bulun.

L = 6 mw = 6 kN/m

R_B = kN

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 75,4 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,3/3,979 × 10⁻⁶ = 75398 N = 75,4 kN

Cevap

P = 75,4 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 43,26 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 110000·706,9/200 = 388772 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 80000·388772/1,017 × 10⁶ = 30579 N

Gerilme

σ₂ = 30579/706,9 = 43,26 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 43,26 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: d = 43,53 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 200 N·m = 200000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 200000·1200/(26000·0,02618) = 352589 mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 43,53 mm

Cevap

d = 43,53 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 8,768 °

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C − T_B = 500 − 2000 = −1500 N·m

Her parçanın burulması

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = −1,5 × 10⁶·1500/(26000·251327) = −0,3443 rad

φ_BC = 500000·2500/(26000·251327) = 0,1913 rad

C ucunun burulması

φ_C = −0,3443 + 0,1913 = −0,153 rad → |φ_C| = 8,768°

Cevap

φ_C = 8,768°

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 66,75 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi. Çıkmadaki yük de A’ya göre moment oluşturur.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 70·1,5 + 15·6,5

R_B = 202,5/5 = 40,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 40,5 = 44,5 kN

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun

M_x = R_A·1,5 = 44,5·1,5 = 66,75 kN·m

Cevap

M_x = 66,75 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: F (x = 5 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 0 kN, R₂ = 30 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 0, M_C = 0, M_D = 0, M_E = 0, M_F = −15 kN·m, M_G = 0

Cevap

İşaret F: M_F = −15 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 21,51 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

A = π(D² − d²)/4 = 1885 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 871792 mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(871792/1885) = 21,51 mm

Cevap

r = 21,51 mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 440,1 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (60000·150 − 2500·210)/(60000 − 2500) = 147,4 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

200·300³/12 + 60000·2,609² = 450,4 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

50·50³/12 + 2500·62,61² = 10,32 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 440,1 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 440,1 × 10⁶ mm⁴

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 42,43 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Gerekli yarıçap

C = (140 + 70)/2 = 105 MPa

R = σ₁ − C = 160 − 105 = 55 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 35²) = 42,43 MPa

Cevap

τ_xy = 42,43 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = 21,8 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −−5·0,9397 + 50·0,342 = 21,8 MPa

Cevap

τ_θ = 21,8 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 2,381 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 8000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 8000·3000²·1000²/(3·2,52 × 10¹²·4000) = 2,381 mm

Cevap

δ_P = 2,381 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: R_B = 13,5 kN

Ara mesnedi kaldırın

Mesnet olmadan kiriş bir konsoldur. Serbest ucu yük altında sehim yapardı.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Mesnette uygunluk koşulu

Tek başına mesnet kuvveti R_B serbest ucu R_BL³/(3EI) kadar kaldırır. Mesnet B’nin sehimini sıfırda tutar, bu yüzden ikisi birbirini götürmelidir. EI sadeleşir.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·6·6/8 = 13,5 kN

Cevap

R_B = 13,5 kN

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 157,9 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·1500 = 1500 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/1500² = 157914 N = 157,9 kN

Cevap

P_cr = 157,9 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 12,69 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/7,5 = 233,3

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/233,3² = 12,69 MPa

Cevap

σ_cr = 12,69 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials

Mukavemet: hızlı tekrar paketi

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Millerin burulması

Yöntem

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Yöntem

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Yöntem

Kiriş sehimi

Kolon burkulması

2Alıştırma soruları

3Çözeltiler

Alanlar

Esneklikler

Yük

Cevap

Rijitlikler

2. kesimin payı

Gerilme

Cevap

Gerekli polar atalet momenti

Çap

Cevap

İç torklar

Her parçanın burulması

C ucunun burulması

Cevap

Mesnet tepkileri

P1 altından kesin ve sol parçayı tutun

Cevap

Mesnet tepkileri

Her işaretteki eğilme momenti

Cevap

Net alan ve atalet momenti

Atalet yarıçapı

Cevap

Ağırlık merkezi

Tam levha, ȳ’ye göre

Delik, ȳ’ye göre

Çıkarın

Cevap

Gerekli yarıçap

Kayma gerilmesi

Cevap

Dönüşüm denklemi

Cevap

Tutarlı birimler

Yükün altındaki sehim

Cevap

Ara mesnedi kaldırın

Mesnette uygunluk koşulu

Cevap

En küçük atalet momenti

Burkulma boyu

Kritik yük

Cevap

En küçük atalet momenti

Atalet yarıçapı ve narinlik

Kritik gerilme

Cevap

P₁ altından kesin ve sol parçayı tutun