Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme
σ = F/A
Birim şekil değiştirme
ε = ΔL/L
Hooke yasası
σ = E·ε
Uzama
ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme
εT = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi
τ = T·r/J
Dolu mil
J = πd⁴/32
İçi boş mil
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı
φ = TL/(GJ)
Güç
P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

  1. Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
  2. Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
  3. Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
  4. Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez
C = (σx + σy)/2
Yarıçap
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Asal gerilmeler
σ1,2 = C ± R
Asal doğrultu
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Eğik düzlem
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Yöntem

  1. Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
  2. Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
  4. Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük
δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli
δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü
δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük
δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon
δ = δ1 + δ2

Kolon burkulması

Euler yükü
Pcr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı
K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme
σcr = Pcr/A
Narinlik
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta
Ø 10 mmÇelik2 mP = 10 kN

Eksenel yük altında çelik çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 10 kNd = 10 mmL = 2 mE = 200 GPa
δ = mm
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor
100 kN12400 mm400 mmØ40Ø60σ2​ = ?

çelik bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 400 mm, E = 200 GPa) ile bakır malzemeden yapılmış bir kesim (çap 60 mm, uzunluk 400 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 100 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ2 bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø60 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 100 kN
σ2 = MPa
3.Millerin burulmasıOrta
T = 750 N·md = 25 mmL = 0,5 mφ = ?

Dolu bir alüminyum mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 750 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 26 GPa
φ = °
4.Millerin burulmasıZor
d = 25 mmT0​ = 750 N·mACBa = 1,5 mb = 0,8 m

25 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 1,5 m ve B’den 0,8 m uzaklıktaki C’de 750 N·m tork uygulanıyor. A duvarındaki tepki torku TA değerini bulun.

d = 25 mmT0 = 750 N·ma = 1,5 mb = 0,8 m
TA = N·m
5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
30 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

30 kN @ 6 m55 kN @ 10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
w = 4 kN/mP = 10 kNABkesit2 m3 m

A mesnedinden x = 2 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mP = 10 kN @ 2 mw = 4 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 2 m
Mx = kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
xD = 150d = 122boyutlar mm cinsinden

Dairesel bir borunun dış çapı D = 150 mm ve iç çapı d = 122 mm’tür. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

D = 150 mmd = 122 mm
r = mm
8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
150 mm240 mm96 mm30 × 20xIx​ = ?

150 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, 30 mm genişliğinde ve 20 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 96 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 150 mmh = 240 mmkesik: 30 × 20 mmdelik merkezi: y = 96 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta
σx​ = 80σy​ = 100MPaτxy​ = ?

Bir noktada σₓ = 80 MPa ve σᵧ = 100 MPa’dır. En büyük asal gerilme 140 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τxy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σx = 80 MPaσy = 100 MPaσ1 = 140 MPa
τxy = MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor
σx​ = 70σy​ = 40τxy​ = −40MPa

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 70 MPa, σᵧ = 40 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 35° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σθ değerini bulun.

σx = 70 MPaσy = 40 MPaτxy = −40 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.Kiriş sehimiOrta
w = 6 kN/mδL = 6 m

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δmax değerini bulun.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Kiriş sehimiZor
w = 5 kN/mδL = 5 m

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti Ireq değerini bulun.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Kolon burkulmasıOrta
PL = 3 md = 30 mmkesit

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü Pcr değerini bulun.

L = 3 mE = 200 GPa (çelik)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Kolon burkulmasıZor
P = 105 kNL = 1 md = ?kesit

alüminyum malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Burkulmaya karşı 3 güvenlik katsayısıyla 105 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 105 kNn = 3L = 1 mE = 70 GPa (alüminyum)
d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,273 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 10·1000/78,54 = 127,3 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/200000 = 0,0006366 = 636,6 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,0006366·2000 mm = 1,273 mm

Cevap

δ = 1,273 mm
2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ2 = 20,32 MPa

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, Pi = P·EiAi/ΣEA ve σi = Ei·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Rijitlikler

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 120000·2827/400 = 848230 N/mm

2. kesimin payı

F2 = 100000·848230/1,477 × 10⁶ = 57447 N

Gerilme

σ2 = 57447/2827 = 20,32 MPa (basınç)

Cevap

σ2 = 20,32 MPa
3.Millerin burulması

Cevap: φ = 21,55 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(26000·38350) = 0,3761 rad
φ = 0,3761·180/π = 21,55°

Cevap

φ = 21,55°
4.Millerin burulması

Cevap: TA = 260,9 N·m

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τmax = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(do⁴ − di⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca TA + TB = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

TA + TB = 750
TA·a = TB·b
TA = 750·0,8/2,3 = 260,9 N·m
TB = 750·1,5/2,3 = 489,1 N·m

Cevap

TA = 260,9 N·m
5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: D (x = 6 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 24,17 kN, R2 = 60,83 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = 48,33, MC = 96,67, MD = 145 kN·m, ME = 133,3, MF = 121,7, MG = 0

Cevap

İşaret D: MD = 145 kN·m
6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: Mx = 24 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·5 = 10·2 + 4·5·2,5
RB = 70/5 = 14 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 14 = 16 kN
w = 4 kN/mP = 10 kNABRA​ = 16RB​ = 14kesit2 m3 m

x = 2 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 16·2 − 4·2·1 = 24 kN·m

Cevap

Mx = 24 kN·m
7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 48,34 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = Ic + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

A = π(D² − d²)/4 = 5982 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,398 × 10⁷ mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(1,398 × 10⁷/5982) = 48,34 mm

Cevap

r = 48,34 mm
8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 172,4 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (36000·120 − 600·96)/(36000 − 600) = 120,4 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

150·240³/12 + 36000·−0,4068² = 172,8 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

30·20³/12 + 600·−24,41² = 0,3774 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 172,4 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 172,4 × 10⁶ mm⁴
9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τxy = 48,99 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Gerekli yarıçap

C = (80 + 100)/2 = 90 MPa
R = σ1 − C = 140 − 90 = 50 MPa
στxyCσ1​σ2​

Kayma gerilmesi

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(50² − 10²) = 48,99 MPa

Cevap

τxy = 48,99 MPa
10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σθ = 22,54 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dönüşüm denklemi

σθ = 55 + 15·0,342 + −40·0,9397 = 22,54 MPa

Cevap

σθ = 22,54 MPa
11.Kiriş sehimi

Cevap: δmax = 62,89 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 6000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Sehim

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·6000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 62,89 mm

Cevap

δmax = 62,89 mm
12.Kiriş sehimi

Cevap: Ireq = 266,3 × 10⁶ mm⁴

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Sehim sınırı

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·5000⁴/(384·11000·13,89) = 2,663 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 266,3 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ireq = 266,3 × 10⁶ mm⁴
13.Kolon burkulması

Cevap: Pcr = 2,18 kN

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·3000 = 6000 mm

Kritik yük

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/6000² = 2180 N = 2,18 kN

Cevap

Pcr = 2,18 kN
14.Kolon burkulması

Cevap: d = 78,07 mm

Euler burkulması: narin bir kolon Pcr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

Gereken kritik yük

Pcr = n·P = 3·105000 = 315000 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 78,07 mm

Cevap

d = 78,07 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 102,5, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials