Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

pirinç çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 50 kNd = 12 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 15 kNparça 1: Ø35 mm, 2 m, pirinç (E = 100 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1 m, alüminyum (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

2,5 m uzunluğundaki dolu bir pirinç mil 1000 N·m tork taşıyor. Uçları arasındaki burulma açısı 3°’yi geçmemelidir. Bu sınırı sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

T = 1000 N·mL = 2,5 mG = 39 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir alüminyum mil 1000 rpm’de 20 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 60 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 0,25° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 20 kWN = 1000 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 7,5 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti V_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mw = 10 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 7,5 m

V_x = kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

45 kN @ 6 m4 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Dairesel bir borunun dış çapı D = 110 mm ve iç çapı d = 98 mm’tür. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

D = 110 mmd = 98 mm

r = mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 40 MPa, basınçta 150 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük pozitif eğilme momenti M_allow değerini bulun.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 140 MPa, σᵧ = −60 MPa ve τₓᵧ = −30 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = 140 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_p = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 100 MPa, σᵧ = −10 MPa ve τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). von Mises eşdeğer gerilmesi σ_vM değerini bulun.

σ_x = 100 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −40 MPa

σ_vM = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş A mesnedinden a = 2,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Yükün altındaki sehim δ_P değerini bulun.

P = 19 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 200 GPa (çelik)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Kiriş sehimiZor

100 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/250 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 1 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 100 mm

h_req = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Burkulmaya karşı 2 güvenlik katsayısıyla 70 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 70 kNn = 2L = 3 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 4421 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 50·1000/113,1 = 442,1 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 442,1/100000 = 0,004421 = 4421 µε

Cevap

ε = 4421 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 47,75 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 15,59 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 47,75 MPa

Cevap

σ_max = 47,75 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: d = 59,43 mm

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Gerekli polar atalet momenti

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 3·π/180 = 0,05236 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·2500/(39000·0,05236) = 1,224 × 10⁶ mm⁴

Çap

d = (32J/π)^1/4 = 59,43 mm

Cevap

d = 59,43 mm

Uygulamada bir sonraki standart ölçüye yuvarlarsınız.

4.Millerin burulması

Cevap: d = 64,35 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Dayanım için çap

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·60)) = 25,31 mm

Rijitlik için çap

θ = 0,25·π/180/1000 = 4,363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·26000·4,363 × 10⁻⁶))^1/4 = 64,35 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(25,31, 64,35) = 64,35 mm

Cevap

d = 64,35 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: V_x = −25 kN

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·10 = 100 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·10·5

R_B = 500/10 = 50 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 50 = 50 kN

x = 7,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

V = R_A − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)

V_x = 50 − 10·7,5 = −25 kN

Cevap

V_x = −25 kN

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: F (x = 5 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 1 kN, R₂ = 64 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −1, M_C = −6, M_D = −15, M_E = −28, M_F = −45 kN·m, M_G = 0

Cevap

İşaret F: M_F = −45 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 36,83 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

A = π(D² − d²)/4 = 1960 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 2,659 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(2,659 × 10⁶/1960) = 36,83 mm

Cevap

r = 36,83 mm

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 4,141 kN·m

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Ağırlık merkezi

ȳ = (1400·145 + 2800·70)/4200 = 95 mm

üst kenar: c = 150 − 95 = 55 mm

Alan atalet momenti

I = 140·10³/12 + 1400·50² + 20·140³/12 + 2800·25² = 9,835 × 10⁶ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Pozitif moment: üst basınçta, alt çekmededir.

üst kenar: M = 150·9,835 × 10⁶/55 = 26,82 kN·m

alt kenar: M = 40·9,835 × 10⁶/95 = 4,141 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 4,141 kN·m (alt kenar)

Cevap

M_allow = 4,141 kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = −8,35 °

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·−30, 140 − −60) = −16,7°

Elemandaki açı

θ_p = −8,35°

Cevap

θ_p = −8,35°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_vM = 126,1 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 45 MPa, R = 68,01 MPa

σ₁ = 113 MPa, σ₂ = −23,01 MPa, σ₃ = 0

von Mises

σ_vM = √(113² − 113·(−23,01) + (−23,01)²) = 126,1 MPa

Cevap

σ_vM = 126,1 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_P = 13,1 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 19000 N, a = 2500 mm, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Yükün altındaki sehim

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 19000·2500²·1500²/(3·1,7 × 10¹²·4000) = 13,1 mm

Cevap

δ_P = 13,1 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 147,9 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·4500⁴/(384·11000·18) = 2,697 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·2,697 × 10⁷/100)^1/3 = 147,9 mm

Cevap

h_req = 147,9 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 179,9 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·2000 = 2000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·1,042 × 10⁶/2000² = 179915 N = 179,9 kN

Cevap

P_cr = 179,9 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 50,24 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 50,24 mm

Cevap

d = 50,24 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 167,2, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials