Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında pirinç çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 85 kNd = 12 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 100 kNparça 1: Ø25 mm, 1,5 m, alüminyum (E = 70 GPa)parça 2: Ø16 mm, 0,5 m, bakır (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir pirinç mil (dış çap 80 mm, iç çap 56 mm, uzunluk 1 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 750 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 750 N·md_o = 80 mmd_i = 56 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

Dolu bir pirinç mil 1000 rpm’de 5 kW iletiyor. Kayma gerilmesi 80 MPa değerini, burulma ise m uzunluk başına 1° değerini geçmemelidir. İki sınırı da sağlayan en küçük çap d değerini bulun.

P = 5 kWN = 1000 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 1°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Basit mesnetli kiriş iki tekil yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 6 mP₁ = 50 kN @ 3 mP₂ = 15 kN @ 5 m

M_max = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

15 kN @ 0 m25 kN @ 12 m55 kN @ 4 m8 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

200 mm × 150 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 60 mm yukarıda olan 40 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini I_x bulun.

b = 200 mmh = 150 mmd = 40 mmdelik merkezi: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Bir dökme demir kiriş, başlığı üstte olan şekildeki T kesite sahiptir. Emniyet gerilmeleri çekmede 30 MPa, basınçta 150 MPa’tür. Kirişin taşıyabileceği en büyük negatif eğilme momenti M_allow değerini bulun (büyüklüğünü verin).

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = −40 MPa ve σᵧ = −50 MPa’dır. En büyük asal gerilme −20 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = −40 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = −20 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İç çapı 1500 mm ve et kalınlığı 15 mm olan ince cidarlı silindirik bir tank, 3 MPa gösterge basıncında gaz içeriyor. Silindir ekseniyle 20° açı yapan helisel bir dikiş boyunca kaynaklanmış levhadan yapılmıştır. Kaynak dikişi boyunca etkiyen kayma gerilmesinin büyüklüğü |τ_n| değerini bulun.

D = 1500 mmt = 15 mmp = 3 MPaα = 20°

|τ_n| = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (çelik)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü ve açıklık ortasında P tekil yükü taşıyor. Süperpozisyon kullanarak orta nokta sehimi δ_max değerini bulun.

P = 5 kNw = 20 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (çelik)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

çelik malzemeden L boyunda dolu yuvarlak bir kolon iki ucu mafsallı. Burkulmaya karşı 2,5 güvenlik katsayısıyla 10 kN taşımalı. En küçük çap d değerini bulun.

P = 10 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (çelik)

d = mm

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 15,03 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 85·1000/113,1 = 751,6 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 751,6/100000 = 0,007516 = 7516 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,007516·2000 mm = 15,03 mm

Cevap

δ = 15,03 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 6,491 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 203,7 MPa

σ₂ = 497,4 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 203,7·1500/70000 = 4,365 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 497,4·500/117000 = 2,125 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,491 mm

Cevap

δ = 6,491 mm

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,3606 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(80⁴ − 56⁴)/32 = 3,056 × 10⁶ mm⁴

Burulma açısı

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·1000/(39000·3,056 × 10⁶) = 0,006293 rad

φ = 0,006293·180/π = 0,3606°

Cevap

φ = 0,3606°

4.Millerin burulması

Cevap: d = 29,07 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 5000/104,7 = 47,75 N·m

Dayanım için çap

T = 47,75 N·m = 47746 N·mm

d_τ = ∛(16·47746/(π·80)) = 14,49 mm

Rijitlik için çap

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·47746/(π·39000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 29,07 mm

Belirleyici çap

İki sınır da sağlanmalıdır, bu yüzden büyük çap belirleyicidir.

d = max(14,49, 29,07) = 29,07 mm

Cevap

d = 29,07 mm

Burada rijitlik belirleyicidir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 82,5 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·3 + 15·5

R_B = 225/6 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 37,5 = 27,5 kN

Her yükün altındaki moment

Her yükün solundaki parçayı tutun.

yük altında P₁: M = R_A·3 = 27,5·3 = 82,5 kN·m

yük altında P₂: M = R_B·1 = 37,5·1 = 37,5 kN·m

En büyük değer

M_max = 82,5 kN·m (yük altında P₁)

Cevap

M_max = 82,5 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 8 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 64 kN, R₂ = 79 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = 52, M_D = −8, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −100 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 55,83 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin I_c = bh³/12, bir dairenin I_c = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (30000·75 − 1257·60)/(30000 − 1257) = 75,66 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

200·150³/12 + 30000·−0,6558² = 56,26 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·40⁴/64 + 1257·−15,66² = 0,4337 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

I_x = 55,83 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 55,83 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: M_allow = 17,9 kN·m

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Ağırlık merkezi

ȳ = (4200·235 + 3080·110)/7280 = 182,1 mm

üst kenar: c = 250 − 182,1 = 67,88 mm

Alan atalet momenti

I = 140·30³/12 + 4200·52,88² + 14·220³/12 + 3080·72,12² = 4,05 × 10⁷ mm⁴

Her kenarın izin verdiği moment

Negatif moment: üst çekmede, alt basınçtadır.

üst kenar: M = 30·4,05 × 10⁷/67,88 = 17,9 kN·m

alt kenar: M = 150·4,05 × 10⁷/182,1 = 33,36 kN·m

Belirleyici değer

M_allow = min = 17,9 kN·m (üst kenar)

Cevap

M_allow = 17,9 kN·m

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 24,49 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Gerekli yarıçap

C = (−40 + (−50))/2 = −45 MPa

R = σ₁ − C = −20 − (−45) = 25 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(25² − 5²) = 24,49 MPa

Cevap

τ_xy = 24,49 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: |τ_n| = 24,1 MPa

Cidar gerilmeleri

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 3·750/15 = 150 MPa

σ_a = pr/(2t) = 75 MPa

Dikişe dönüştürün

x’i eksen boyunca (σ_a), y’yi çevre boyunca (σ_h) alın. Dikişin normali eksenle 90° − α açı yapar.

|τ_n| = (150 − 75)·sin 20°·cos 20° = 24,1 MPa

Cevap

|τ_n| = 24,1 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 23,39 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 23,39 mm

Cevap

δ_max = 23,39 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 11,25 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 5000 N, w = 20 N/mm, L = 6000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Her yük tek başına

δ_P = PL³/(48EI) = 5000·6000³/(48·3,2 × 10¹³) = 0,7031 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·6000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 10,55 mm

Toplayın

δ_max = 0,7031 + 10,55 = 11,25 mm

Cevap

δ_max = 11,25 mm

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 14,62 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 1·6000 = 6000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/6000² = 14622 N = 14,62 kN

Cevap

P_cr = 14,62 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: d = 31,87 mm

Gereken kritik yük

P_cr = n·P = 2,5·10000 = 25000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

Çap için çözün

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·25000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 31,87 mm

Cevap

d = 31,87 mm

Kontrol: narinlik KL/r = 251, dolayısıyla kolon narindir ve Euler geçerlidir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials