Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Eksenel yük altında alüminyum çubuğun uzaması δ değerini bulun.

P = 110 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Toplam uzama δ değerini bulun.

P = 20 kNparça 1: Ø35 mm, 1 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø20 mm, 1,5 m, pirinç (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 10 mm çaplı dolu bir numune 50 N·m torkla burulmuştur. 400 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 14,59° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 50 N·md = 10 mmL = 400 mmφ = 14,59°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 750 rpm’de 50 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,6 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 75 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 50 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Basit mesnetli kiriş, A’dan x = 2 m uzaklıkta saat yönünde M₀ = 45 kN·m kuvvet çifti taşır; başka yük yoktur. Kuvvet çiftinin hemen sağındaki eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mM₀ = 45 kN·m saat yönünde, konumu 2 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 4,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 5 mP = 20 kN @ 3,5 mw = 8 kN/m, 0 ile 5 m arasındax = 4,5 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Bir U kesit açık tarafı yukarıda duruyor: 180 mm genişliğinde bir taban levhası ve toplam 80 mm yüksekliğinde iki dik kol. Taban ve kolların hepsi 20 mm kalınlığındadır. Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b = 180 mmh = 80 mmt = 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 50 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σ_alt değerini bulun.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 12 mmh_w = 300 mmM = 50 kN·m

σ_alt = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 30 MPa ve σᵧ = −20 MPa’dır. En büyük asal gerilme 60 MPa’ya ulaşmadan önce kayma gerilmesi τ_xy (büyüklük) ne kadar büyüyebilir?

σ_x = 30 MPaσ_y = −20 MPaσ₁ = 60 MPa

τ_xy = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

İnce bir levhadaki bir nokta düzlem gerilme durumundadır: σₓ = 80 MPa, σᵧ = −70 MPa ve τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). Malzemenin akma dayanımı 300 MPa’dır. Tresca (en büyük kayma gerilmesi) kriterine göre akmaya karşı güvenlik katsayısı n değerini bulun.

σ_x = 80 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Kiriş sehimiOrta

Bir konsol kiriş tüm boyunca düzgün yayılı w yükü taşıyor. Serbest uçtaki sehim δ değerini bulun.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (çelik)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 34,74 mm

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 110·1000/113,1 = 972,6 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for alüminyum = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 972,6/70000 = 0,01389 = 13894 µε

Uzama

δ = ε·L = 0,01389·2500 mm = 34,74 mm

Cevap

δ = 34,74 mm

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: δ = 1,059 mm

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 20,79 MPa

σ₂ = 63,66 MPa

Parça uzamalarını toplayın

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 20,79·1000/200000 = 0,1039 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 63,66·1500/100000 = 0,9549 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,059 mm

Cevap

δ = 1,059 mm

3.Millerin burulması

Cevap: G = 80 GPa

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti ve açı

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 14,59·π/180 = 0,2546 rad

Kayma modülü

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·400/(981,7·0,2546) = 80001 MPa

G = 80 GPa

Cevap

G = 80 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 36,76 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·636620/(π·75·0,8704)) = 36,76 mm

d_i = 0,6·36,76 = 22,06 mm

Cevap

d_o = 36,76 mm

Dolu bir mil d = 35,1 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 30 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. Uygulanan bir kuvvet çifti, eğilme momenti diyagramında kuvvet çiftinin büyüklüğü kadar sıçrama oluşturur.

Mesnet tepkileri

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif: R_B·L − M₀ = 0. Düşey denge: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 45/6 = 7,5 kN (yukarı)

R_A = −R_B = −7,5 kN (aşağı)

Kuvvet çiftinin hemen sağından kesin

Sol parça artık R_A’yı ve kuvvet çiftini içerir.

M_x = R_A·a + M₀ = −7,5·2 + 45 = 30 kN·m

Cevap

M_x = 30 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 16 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, x̄ = 2,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 20·3,5 + 8·5·2,5

R_B = 170/5 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 34 = 26 kN

x = 4,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 26·4,5 − 20·(4,5 − 3,5) − 8·4,5·2,25 = 16 kN·m

Cevap

M_x = 16 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 3,144 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Dikdörtgenlere ayırın

Tabanı tam genişlikte ve iki kolu onun üstünde (yükseklik h − t) alın; böylece hiçbir şey iki kez sayılmaz.

baz: A₁ = 180·20 = 3600 mm², y₁ = 10 mm

iki kol: A₂ = 2·20·60 = 2400 mm², y₂ = 20 + 60/2 = 50 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (3600·10 + 2400·50)/6000 = 26 mm

Paralel eksen teoremi

baz: 180·20³/12 + 3600·(10 − 26)² = 1,042 × 10⁶ mm⁴

iki kol: 2·20·60³/12 + 2400·(50 − 26)² = 2,102 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,042 × 10⁶ + 2,102 × 10⁶

I_x = 3,144 × 10⁶ mm⁴ = 3,144 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 3,144 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_alt = 156,2 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

gövde: A_w = 12·300 = 3600 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·307,5 + 3600·150)/7800 = 234,8 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 280·15³/12 + 4200·(307,5 − 234,8)² = 2,227 × 10⁷ mm⁴

gövde: 12·300³/12 + 3600·(150 − 234,8)² = 5,289 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,227 × 10⁷ + 5,289 × 10⁷ = 7,516 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Alt kenar eksenden ȳ uzaklıktadır.

y = 234,8 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·234,8/7,516 × 10⁷ = 156,2 MPa

Cevap

σ_alt = 156,2 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_xy = 48,99 MPa

Gerekli yarıçap

C = (30 + (−20))/2 = 5 MPa

R = σ₁ − C = 60 − 5 = 55 MPa

Kayma gerilmesi

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 25²) = 48,99 MPa

Cevap

τ_xy = 48,99 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: n = 1,562

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir. Akma kriterleri: von Mises, σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) σ_Y’ye ulaştığında; Tresca, mutlak en büyük kayma gerilmesi σ_Y/2’ye ulaştığında akma öngörür.

Asal gerilmeler

C = 5 MPa, R = 96,05 MPa

σ₁ = 101 MPa, σ₂ = −91,05 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 192,1 MPa

n = 300/192,1 = 1,562

Cevap

n = 1,562

n > 1, noktanın akmadığı anlamına gelir; Tresca, von Mises’ten biraz daha güvenli taraftadır.

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ = 2,123 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2500 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ = wL⁴/(8EI) = 2·2500⁴/(8·4,6 × 10¹²) = 2,123 mm

Cevap

δ = 2,123 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 9,492 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·3000⁴/(384·200000·8,333) = 9,492 × 10⁶ mm⁴

I_req = 9,492 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 9,492 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 23,55 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23,55 kN

Cevap

P_cr = 23,55 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 17,27 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/7,5 = 200

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Cevap

σ_cr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials