Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

çelik çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 80 kNd = 25 mmL = 1,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 70 kNparça 1: Ø25 mm, 2 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø12 mm, 1 m, pirinç (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

Dolu bir çelik mil duvara ankastre ve serbest ucundan T torkuyla burulmuş. Serbest ucun burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 200 N·md = 20 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

30 mm çaplı dolu bir çelik mil A’da ankastredir. A’dan 0,5 m uzaklıktaki B’de 100 N·m tork, ondan 2,5 m daha ötedeki serbest uç C’de ise aynı yönde 1000 N·m tork etkir. Mildeki en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

d = 30 mmT_B = 100 N·mT_C = 1000 N·mAB = 0,5 mBC = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Basit mesnetli kiriş iki tekil yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 4 mP₁ = 55 kN @ 2,5 mP₂ = 75 kN @ 3 m

M_max = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 1 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mP = 50 kN @ 5 mw = 6 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 1 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 280 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 280 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 10 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 120 mmM = 10 kN·m

σ_üst = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 160 MPa, σᵧ = 110 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Düzlem içi en büyük kayma gerilmesi τ_max değerini bulun.

σ_x = 160 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 80 MPa, σᵧ = −10 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 45° döndürülmüş bir düzlemdeki kayma gerilmesi τ_θ değerini bulun (τₓᵧ ile aynı yönde pozitif).

σ_x = 80 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 45°

τ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

75 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/250 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 3 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 75 mm

h_req = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 2,5 mE = 200 GPa (çelik)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 814,9 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 80·1000/490,9 = 163 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for çelik = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 163/200000 = 0,0008149 = 814,9 µε

Cevap

ε = 814,9 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 618,9 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 142,6 MPa

σ₂ = 618,9 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 618,9 MPa

Cevap

σ_max = 618,9 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 13,68 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Burulma açısı

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1500/(80000·15708) = 0,2387 rad

φ = 0,2387·180/π = 13,68°

Cevap

φ = 13,68°

4.Millerin burulması

Cevap: τ_max = 207,5 MPa

İç torklar

T_C’nin yönü pozitif alınmıştır.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1000 + 100 = 1100 N·m

En büyük kayma gerilmesi

İç torku en büyük olan parçada gerilme en büyüktür (aynı çap).

|T|_max = 1100 N·m

τ_max = 16·1,1 × 10⁶/(π·30³) = 207,5 MPa

Cevap

τ_max = 207,5 MPa

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 98,44 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 55·2,5 + 75·3

R_B = 362,5/4 = 90,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 130 − 90,63 = 39,38 kN

Her yükün altındaki moment

Her yükün solundaki parçayı tutun.

yük altında P₁: M = R_A·2,5 = 39,38·2,5 = 98,44 kN·m

yük altında P₂: M = R_B·1 = 90,63·1 = 90,63 kN·m

En büyük değer

M_max = 98,44 kN·m (yük altında P₁)

Cevap

M_max = 98,44 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 52 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 50·5 + 6·10·5

R_B = 550/10 = 55 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 55 = 55 kN

x = 1 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 55·1 − 6·1·0,5 = 52 kN·m

Cevap

M_x = 52 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 84,41 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 280·25 = 7000 mm², y_f = 280 + 25/2 = 292,5 mm

gövde: A_w = 14·280 = 3920 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7000·292,5 + 3920·140)/10920 = 237,8 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 280·25³/12 + 7000·(292,5 − 237,8)² = 2,134 × 10⁷ mm⁴

gövde: 14·280³/12 + 3920·(140 − 237,8)² = 6,307 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,134 × 10⁷ + 6,307 × 10⁷ = 8,441 × 10⁷ mm⁴ = 84,41 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 84,41 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 65,33 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 120 + 20/2 = 130 mm

gövde: A_w = 8·120 = 960 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·130 + 960·60)/3360 = 110 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 120·20³/12 + 2400·(130 − 110)² = 1,04 × 10⁶ mm⁴

gövde: 8·120³/12 + 960·(60 − 110)² = 3,552 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,04 × 10⁶ + 3,552 × 10⁶ = 4,592 × 10⁶ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 140 − 110 = 30 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·30/4,592 × 10⁶ = 65,33 MPa

Cevap

σ_üst = 65,33 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_max = 55,9 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Mohr dairesinin yarıçapı

τ_max = R = √(((160 − 110)/2)² + 50²) = 55,9 MPa

Cevap

τ_max = 55,9 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: τ_θ = −45 MPa

Dönüşüm denklemi

τ_θ = −45·1 + 50·0 = −45 MPa

Cevap

τ_θ = −45 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 3,157 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 3,157 mm

Cevap

δ_max = 3,157 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 156,5 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/250 = 3000/250 = 12 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3000⁴/(384·11000·12) = 2,397 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·2,397 × 10⁷/75)^1/3 = 156,5 mm

Cevap

h_req = 156,5 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 9,922 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·2500 = 5000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9,922 kN

Cevap

P_cr = 9,922 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 24,48 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/12,5 = 168

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/168² = 24,48 MPa

Cevap

σ_cr = 24,48 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials