Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

pirinç çubuktaki eksenel birim şekil değiştirme ε değerini mikro şekil değiştirme (µε = 10⁻⁶) cinsinden bulun.

P = 90 kNd = 16 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

Kademeli çubuk duvara ankastre ve serbest ucundan yüklenmiş. Çubuktaki en büyük normal gerilme σ_max değerini bulun.

P = 20 kNparça 1: Ø35 mm, 0,5 m, çelik (E = 200 GPa)parça 2: Ø20 mm, 0,5 m, bakır (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

İçi boş bir alüminyum mil (dış çap 60 mm, iç çap 36 mm, uzunluk 1 m) bir ucundan ankastre ve diğer ucundan 250 N·m torkla burulmuş. Burulma açısı φ değerini derece cinsinden bulun.

T = 250 N·md_o = 60 mmd_i = 36 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Millerin burulmasıZor

İçi boş bir mil 500 rpm’de 5 kW iletmelidir. İç çapı dış çapının 0,8 katı olacaktır ve kayma gerilmesi 60 MPa değerini geçmemelidir. En küçük dış çap d_o değerini bulun.

P = 5 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,8τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 3,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 6 mw = 6 kN/m, 0 ile 6 m arasındax = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 3 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mP = 15 kN @ 3 mw = 5 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 3 m

M_x = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Simetrik bir I kesitin başlıkları 130 mm genişliğinde ve 24 mm kalınlığında, toplam yüksekliği 200 mm ve gövdesi 10 mm kalınlığındadır. x eksenine göre 100 kN·m eğilme momenti taşır. Kesitteki en büyük eğilme gerilmesinin büyüklüğü σ_max değerini bulun.

B = 130 mmH = 200 mmt_f = 24 mmt_w = 10 mmM = 100 kN·m

σ_max = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Bir noktada σₓ = 40 MPa, σᵧ = 30 MPa ve τₓᵧ = 50 MPa’dır (çekme pozitif). Eleman saat yönünün tersine 50° döndürülüyor. Döndürülmüş elemanın, döndürülmüş y′ eksenine dik yüzlerindeki normal gerilme σ_y′ değerini bulun.

σ_x = 40 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 50°

σ_y′ = MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 80 MPa, σᵧ = 80 MPa ve τₓᵧ = 30 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 35° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 80 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

Basit mesnetli bir kiriş tüm açıklıkta düzgün yayılı w yükü taşıyor. Açıklık ortasındaki en büyük sehim δ_max değerini bulun.

w = 2 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Kiriş sehimiZor

Basit mesnetli bir kiriş düzgün yayılı w yükü taşıyor. Sehimi açıklık/360’ı geçemez. Bu sınırı sağlayan en küçük atalet momenti I_req değerini bulun.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (çelik)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulmasıOrta

çelik malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 1,5 mE = 200 GPa (çelik)b × h = 25 × 40 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi serbest. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 3 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: ε = 4476 µε

Hooke yasası: elastik bölgede σ = E·ε. σ = P/A ve ε = δ/L ile birleştirince δ = PL/(AE) elde edilir.

Gerilme

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 90·1000/201,1 = 447,6 MPa

Birim şekil değiştirme (Hooke yasası)

E for pirinç = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 447,6/100000 = 0,004476 = 4476 µε

Cevap

ε = 4476 µε

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ_max = 63,66 MPa

Eksenel yüklü elemanlar: her prizmatik parça δ = PL/(AE) bağıntısına uyar. Seri elemanlarda uzamalar toplanır.

İki parçada aynı kuvvet

Serbest uç P’yi taşır; bu yüzden çubuğun her kesiti aynı eksenel P kuvvetini taşır. Yalnızca alanlar ve malzemeler değişir.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 20,79 MPa

σ₂ = 63,66 MPa

En büyük gerilme

İnce parçanın alanı daha küçüktür, bu yüzden daha büyük gerilme taşır.

σ_max = 63,66 MPa

Cevap

σ_max = 63,66 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: φ = 0,4975 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır.

Polar atalet momenti

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

Burulma açısı

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·1000/(26000·1,107 × 10⁶) = 0,008682 rad

φ = 0,008682·180/π = 0,4975°

Cevap

φ = 0,4975°

4.Millerin burulması

Cevap: d_o = 23,94 mm

Tork

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

Emniyet gerilmesinden dış çap

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·95493/(π·60·0,5904)) = 23,94 mm

d_i = 0,8·23,94 = 19,16 mm

Cevap

d_o = 23,94 mm

Dolu bir mil d = 20,09 mm gerektirirdi; içi boş mil biraz daha büyük ama çok daha hafiftir.

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 26,25 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, x̄ = 3 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

x = 3,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 18·3,5 − 6·3,5·1,75 = 26,25 kN·m

Cevap

M_x = 26,25 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 18,75 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 15·3 + 5·4·2

R_B = 85/4 = 21,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 21,25 = 13,75 kN

x = 3 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 13,75·3 − 5·3·1,5 = 18,75 kN·m

Cevap

M_x = 18,75 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 5,718 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112,5 mm

gövde: A_w = 18·100 = 1800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·112,5 + 1800·50)/4300 = 86,34 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 100·25³/12 + 2500·(112,5 − 86,34)² = 1,841 × 10⁶ mm⁴

gövde: 18·100³/12 + 1800·(50 − 86,34)² = 3,877 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,841 × 10⁶ + 3,877 × 10⁶ = 5,718 × 10⁶ mm⁴ = 5,718 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 5,718 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_max = 194 MPa

Dış dikdörtgen eksi iki yan boşluk

İki boşluk birlikte (B − t_w) genişliğinde ve h_w = H − 2t_f yüksekliğindedir ve x eksenini paylaşır.

h_w = 200 − 2·24 = 152 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (130·200³ − 120·152³)/12

I_x = 5,155 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

y = 100 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁸·100/5,155 × 10⁷ = 194 MPa

Cevap

σ_max = 194 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_y′ = −13,37 MPa

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

y′ yüzü için dönüşüm denklemi

σ_y′ = 35 − 5·(−0,1736) − 50·0,9848 = −13,37 MPa

Kontrol

Normal gerilmelerin toplamı dönmeyle değişmez.

σ_x′ = 83,37 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 70 = σ_x + σ_y

Cevap

σ_y′ = −13,37 MPa

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 108,2 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 80 + 0·0,342 + 30·0,9397 = 108,2 MPa

Cevap

σ_θ = 108,2 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_max = 26,73 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 8000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Sehim

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·8000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 26,73 mm

Cevap

δ_max = 26,73 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: I_req = 22,5 × 10⁶ mm⁴

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Gereken atalet momenti

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·4000⁴/(384·200000·11,11) = 2,25 × 10⁷ mm⁴

I_req = 22,5 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_req = 22,5 × 10⁶ mm⁴

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 11,42 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 2·1500 = 3000 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/3000² = 11423 N = 11,42 kN

Cevap

P_cr = 11,42 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 4,318 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/15 = 400

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Cevap

σ_cr = 4,318 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials