Mukavemet: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 14 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Normal gerilme: σ = F/A
Birim şekil değiştirme: ε = ΔL/L
Hooke yasası: σ = E·ε
Uzama: ΔL = FL/(EA)
Isıl birim şekil değiştirme: ε_T = α·ΔT

Millerin burulması

Kayma gerilmesi: τ = T·r/J
Dolu mil: J = πd⁴/32
İçi boş mil: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Burulma açısı: φ = TL/(GJ)
Güç: P = T·ω = 2πnT/60

Yöntem

Polar atalet momentini bulun: dolu mil için J = πd⁴/32.
Yüzeydeki kayma gerilmesi: τ = T·r/J; r dış yarıçaptır.
Burulma açısı: radyan cinsinden φ = TL/(GJ).
Güç verilmişse önce P = T·ω, ω = 2πn/60 ile torku bulun.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Merkez: C = (σ_x + σ_y)/2
Yarıçap: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Asal gerilmeler: σ_1,2 = C ± R
Asal doğrultu: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Eğik düzlem: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Yöntem

Mohr dairesinin merkezini hesaplayın: C = (σx + σy)/2.
Yarıçapı hesaplayın: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Asal gerilmeler C ± R’dir ve düzlem içi en büyük kayma gerilmesi R’dir.
Dairedeki açılar elemandaki açıların iki katıdır: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Kiriş sehimi

Açıklık ortasında tekil yük: δ = PL³/(48EI)
Düzgün yük, basit mesnetli: δ = 5wL⁴/(384EI)
Konsol, uç yükü: δ = PL³/(3EI)
Konsol, düzgün yük: δ = wL⁴/(8EI)
Süperpozisyon: δ = δ₁ + δ₂

Kolon burkulması

Euler yükü: P_cr = π²EI/(KL)²
Burkulma boyu katsayısı: K = 1 mafsallı–mafsallı, 0,5 ankastre–ankastre, 0,7 ankastre–mafsallı, 2 ankastre–serbest
Kritik gerilme: σ_cr = P_cr/A
Narinlik: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Alıştırma soruları

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeOrta

Bir çubuk, çelik bir kesimin (çap 25 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) bakır malzemeden yapılmış bir kesimle (çap 30 mm, uzunluk 500 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmesiyle oluşuyor. Bir ucundan sabit, diğer ucundan çekiliyor. Toplamda 0,25 mm uzamasını sağlayan eksenel yükü P bulun.

kesim 1: çelik, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø30 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirmeZor

çelik bir kesim (çap 40 mm, uzunluk 500 mm, E = 200 GPa) ile bakır malzemeden yapılmış bir kesim (çap 50 mm, uzunluk 300 mm, E = 120 GPa) uç uca eklenmiş ve iki rijit duvar arasına sabitlenmiştir. Birleşim yerinde 2. kesime doğru 80 kN’luk eksenel bir yük etkir. 2. kesimdeki gerilmenin büyüklüğünü σ₂ bulun.

kesim 1: çelik, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPakesim 2: bakır, Ø50 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Millerin burulmasıOrta

Bir burulma deneyinde 12 mm çaplı dolu bir numune 50 N·m torkla burulmuştur. 300 mm ölçü uzunluğunun iki ucu birbirine göre 5,28° döner (malzeme hâlâ elastiktir). Malzemenin kayma modülü G değerini bulun.

T = 50 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 5,28°

G = GPa

4.Millerin burulmasıZor

20 mm çaplı dolu bir çelik mil iki ucu A ve B’de rijit duvarlara ankastredir. A’dan 0,8 m ve B’den 2,5 m uzaklıktaki C’de 100 N·m tork uygulanıyor. C kesitinin dönme açısı φ_C değerini derece cinsinden bulun.

d = 20 mmT₀ = 100 N·ma = 0,8 mb = 2,5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

Basit mesnetli kiriş iki tekil yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 10 mP₁ = 60 kN @ 1 mP₂ = 60 kN @ 5 m

M_max = kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

Basit mesnetli kiriş, açıklığının bir kısmında düzgün yayılı yük taşır. Kirişteki en büyük eğilme momenti M_max değerini bulun.

L = 5 mw = 10 kN/m, 0 ile 3 m arasında

M_max = kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 30 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Üst kenardaki eğilme gerilmesi σ_üst değerinin büyüklüğünü bulun.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mmM = 30 kN·m

σ_üst = MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüOrta

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = −20 MPa, σᵧ = 30 MPa ve τₓᵧ = 10 MPa (çekme pozitif). x ekseninden en büyük asal gerilmenin doğrultusuna olan açı θ_p değerini −90° ile 90° arasında bulun.

σ_x = −20 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümüZor

Yüklü bir parçadaki bir noktada σₓ = 10 MPa, σᵧ = 120 MPa ve τₓᵧ = 20 MPa (çekme pozitif). Normali x ekseninden saat yönünün tersine 25° döndürülmüş bir düzlemdeki normal gerilme σ_θ değerini bulun.

σ_x = 10 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Kiriş sehimiOrta

L uzunluğundaki bir konsol kiriş A’da ankastredir ve A’dan a = 0,5 m uzaklıkta P tekil yükü taşır. Serbest uç B’deki sehim δ_B değerini bulun.

P = 14 kNa = 0,5 mL = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Kiriş sehimiZor

100 mm genişliğinde dikdörtgen kesitli, basit mesnetli bir ahşap kiriş tüm açıklık boyunca düzgün yayılı w yükü taşır. Açıklık ortası sehimi açıklık/360 değerini geçemez. Kesitin en küçük yüksekliği h_req değerini bulun.

w = 2,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (yapı kerestesi)b = 100 mm

h_req = mm

13.Kolon burkulmasıOrta

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon tabanı ankastre, tepesi mafsallı. Euler formülüyle kritik burkulma yükü P_cr değerini bulun.

L = 6 mE = 70 GPa (alüminyum)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

14.Kolon burkulmasıZor

alüminyum malzemeden L boyunda bir kolon iki ucu ankastre. Narinliğini ve Euler formülünden kritik burkulma gerilmesi σ_cr değerini bulun.

L = 4 mE = 70 GPa (alüminyum)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Çözeltiler

1.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: P = 22,75 kN

İki malzeme: seride (art arda) her kesim aynı kuvveti taşır ve uzamalar toplanır: δ = P·Σ L/(E·A). Paralelde (rijit levhalar arasında yan yana) iki parça da aynı miktarda kısalır, yani birim şekil değiştirmeleri eşittir: daha rijit parça daha büyük payı alır, P_i = P·E_iA_i/ΣEA ve σ_i = E_i·ε. Birleşim yerinde yük bulunan, iki rijit duvar arasına tutturulmuş bir çubuk statik belirsizdir: iki kesim yükü rijitlikleri k = EA/L ile orantılı olarak paylaşır.

Alanlar

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 706,9 mm²

Esneklikler

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·490,9) = 5,093 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·706,9) = 5,895 × 10⁻⁶ mm/N

Yük

P = 0,25/1,099 × 10⁻⁵ = 22753 N = 22,75 kN

Cevap

P = 22,75 kN

2.Eksenel gerilme ve şekil değiştirme

Cevap: σ₂ = 24,84 MPa

Rijitlikler

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 120000·1963/300 = 785398 N/mm

2. kesimin payı

F₂ = 80000·785398/1,288 × 10⁶ = 48780 N

Gerilme

σ₂ = 48780/1963 = 24,84 MPa (basınç)

Cevap

σ₂ = 24,84 MPa

3.Millerin burulması

Cevap: G = 79,96 GPa

Polar atalet momenti ve açı

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 5,28·π/180 = 0,09215 rad

Kayma modülü

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·300/(2036·0,09215) = 79957 MPa

G = 79,96 GPa

Cevap

G = 79,96 GPa

Karşılaştırın: çelik ≈ 80 GPa, pirinç ≈ 39 GPa, alüminyum ≈ 26 GPa.

4.Millerin burulması

Cevap: φ_C = 2,763 °

Dairesel millerin burulması: kayma gerilmesi merkezde sıfırdan yüzeyde τ_max = T·r/J değerine doğrusal artar; dolu mil için J = πd⁴/32, içi boş mil için J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. Burulma açısı radyan cinsinden φ = TL/(GJ)’dir. Güç ve tork P = T·ω ile bağlıdır. İki uç ankastre olduğunda statik tek başına yalnızca T_A + T_B = T₀ verir; ikinci denklem uygunluk koşuludur (yüklü kesitte iki parçanın eşit burulması).

Denge ve uygunluk

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·2,5/3,3 = 75,76 N·m

T_B = 100·0,8/3,3 = 24,24 N·m

C’nin dönmesi

AC parçasını kullanın: A’da ankastredir ve T_A taşır.

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 75758·800/(80000·15708) = 0,04823 rad = 2,763°

Cevap

φ_C = 2,763°

5.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 180 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. En büyük moment: dM/dx = V olduğundan eğilme momenti, kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerde, yani ya bir tekil yükte ya da yayılı yükün içinde en büyük değerine ulaşır.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·1 + 60·5

R_B = 360/10 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 36 = 84 kN

Her yükün altındaki moment

Her yükün solundaki parçayı tutun.

yük altında P₁: M = R_A·1 = 84·1 = 84 kN·m

yük altında P₂: M = R_B·5 = 36·5 = 180 kN·m

En büyük değer

M_max = 180 kN·m (yük altında P₂)

Cevap

M_max = 180 kN·m

6.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_max = 22,05 kN·m

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN, x̄ = 1,5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3·1,5

R_B = 45/5 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 9 = 21 kN

Sıfır kesme kuvveti

Kesme kuvveti R_A ile başlar, yüksüz kısımlarda sabit kalır ve yükün içinde w eğimiyle azalır.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 21/10 = 2,1 m

En büyük moment

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 21·2,1 − 10·2,1²/2 = 22,05 kN·m

Cevap

M_max = 22,05 kN·m

7.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 75,28 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

gövde: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·272,5 + 4160·130)/10660 = 216,9 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 260·25³/12 + 6500·(272,5 − 216,9)² = 2,044 × 10⁷ mm⁴

gövde: 16·260³/12 + 4160·(130 − 216,9)² = 5,484 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,044 × 10⁷ + 5,484 × 10⁷ = 7,528 × 10⁷ mm⁴ = 75,28 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 75,28 × 10⁶ mm⁴

8.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_üst = 61,16 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 200 + 20/2 = 210 mm

gövde: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·210 + 2800·100)/6400 = 161,9 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 180·20³/12 + 3600·(210 − 161,9)² = 8,458 × 10⁶ mm⁴

gövde: 14·200³/12 + 2800·(100 − 161,9)² = 2,005 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,458 × 10⁶ + 2,005 × 10⁷ = 2,851 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Üst kenar eksenden h − ȳ uzaklıktadır.

y = 220 − 161,9 = 58,13 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·58,13/2,851 × 10⁷ = 61,16 MPa

Cevap

σ_üst = 61,16 MPa

9.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: θ_p = 79,1 °

Düzlem gerilme dönüşümü: θ kadar döndürülmüş bir düzlemde σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. Mohr dairesi tüm düzlemleri bir arada gösterir: merkezi C = (σₓ + σᵧ)/2, yarıçapı R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²) değerindedir. Asal gerilmeler C ± R, düzlem içi en büyük kayma gerilmesi ise R’dir.

Dairedeki açı

Mohr dairesinde x noktası σ ekseninden 2θp açısında bulunur; bölge, σₓ − σᵧ ve τₓᵧ işaretlerinden belirlenir.

2θ_p = atan2(2·10, −20 − 30) = 158,2°

Elemandaki açı

θ_p = 79,1°

Cevap

θ_p = 79,1°

Pozitif açılar saat yönünün tersinedir.

10.Mohr dairesi ve gerilme dönüşümü

Cevap: σ_θ = 44,97 MPa

Dönüşüm denklemi

σ_θ = 65 + −55·0,6428 + 20·0,766 = 44,97 MPa

Cevap

σ_θ = 44,97 MPa

11.Kiriş sehimi

Cevap: δ_B = 6,341 mm

Kiriş sehimi: sehimler, M/(EI) eğriliğinin iki kez integre edilmesiyle bulunur. Standart durumlar tablolanmıştır; örneğin uçtan yüklü konsol için PL³/(3EI) ve tüm açıklıkta düzgün yüklü basit kiriş için 5wL⁴/(384EI). Ayrı yüklerin sehimleri toplanır (süperpozisyon).

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

P = 14000 N, a = 500 mm, L = 6000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Serbest uçtaki sehim

Yükteki sehim artı yükteki eğim çarpı kalan uzunluk.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,3623 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001087 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 6,341 mm

Cevap

δ_B = 6,341 mm

12.Kiriş sehimi

Cevap: h_req = 176,3 mm

Tutarlı birimler

N ve mm ile çalışın: P N, w N/mm (kN/m = N/mm), L mm, E N/mm² (GPa × 1000), I mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Sehim sınırı

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Gereken atalet momenti

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·3500⁴/(384·11000·9,722) = 4,568 × 10⁷ mm⁴

Gerekli yükseklik

bh³/12 = I_req → h = (12·4,568 × 10⁷/100)^1/3 = 176,3 mm

Cevap

h_req = 176,3 mm

Uygulamada bu değerin üstündeki bir sonraki standart yüksekliği seçin.

13.Kolon burkulması

Cevap: P_cr = 2,611 kN

Euler burkulması: narin bir kolon P_cr = π²EI/(KL)² değerinde kararsız olur; KL burkulma boyudur: mafsallı–mafsallı için K = 1, ankastre–serbest için 2, ankastre–mafsallı için 0,7 ve ankastre–ankastre için 0,5. En küçük I’ya sahip eksen etrafında burkulur. Formül, kritik gerilmesi akma gerilmesinin altında kalan narin kolonlar için geçerlidir.

En küçük atalet momenti

Dikdörtgen zayıf ekseni etrafında, küçük boyutun küpüyle burkulur.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

Burkulma boyu

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Kritik yük

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/4200² = 2611 N = 2,611 kN

Cevap

P_cr = 2,611 kN

14.Kolon burkulması

Cevap: σ_cr = 69,09 MPa

En küçük atalet momenti

Dairesel kesitin I değeri her eksene göre aynıdır.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Atalet yarıçapı ve narinlik

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Kritik gerilme

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Cevap

σ_cr = 69,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials