Sayısal Yöntemler: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 8 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Sayısal yöntemler

Yarılama yöntemi
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Doğrusal enterpolasyon
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Yamuk kuralı
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Simpson kuralı (n çift)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
Yamuk hata sınırı
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Yöntem

  1. Bir kök için: yarılamada işaret değişimini denetleyin ya da Newton için f ve f′’yi hesaplayın ve iterasyon tablosunda altı ya da daha fazla basamak tutun.
  2. Bir tablo değeri için: iki komşu nokta arasında doğrusal enterpolasyon yapın.
  3. Bir integral için: h = (b − a)/n bulun, her düğümde f’yi listeleyin, ağırlıkları uygulayın (yamuk için 1, 2, …, 2, 1; n çift iken Simpson için 1, 4, 2, …, 4, 1) ve h/2 ya da h/3 ile çarpın.
  4. Bir adi diferansiyel denklem (ADD) için: t₀’dan yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ya da ortalama eğimle (Heun) adım atın, istenen t’ye ulaşana kadar adım başına bir satır.

Diziler ve seriler

Aritmetik dizi
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Geometrik dizi
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Sonsuz geometrik seri
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
p-serisi
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Oran testi
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Yakınsaklık yarıçapı
R = lim |ck/ck+1|
Taylor polinomu
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Maclaurin serisi
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Lagrange hata sınırı
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Yöntem

  1. Türü belirleyin: aritmetik (sabit fark), geometrik (sabit oran), standart bir seri, bir kuvvet serisi ya da bir Taylor polinomu.
  2. Toplamlar için Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r) ya da |r| < 1 iken S = a₁/(1 − r) kullanın; a₁ toplamın ilk terimidir.
  3. Yakınsaklık için: önce n. terim testi, sonra Σ1/kᵖ ya da bir geometrik seriyle karşılaştırma; faktöriyeller ve k. kuvvetler için oran ya da kök testini kullanın.
  4. Taylor polinomları için f(a), f′(a), f″(a), … değerlerini listeleyin, k. türevi k!’e bölün ve hatayı M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! ile sınırlayın.

Matrisler ve determinantlar

2×2 determinant
det = ad − bc
2×2 ters matris
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Ürün
(AB)ij = Σk AikBkj
Özdeğerler
det(A − λI) = 0
Cramer kuralı
xi = det(Ai)/det(A)

Diferansiyel denklemler

Üstel büyüme/azalma
dy/dt = ky → y = y0ekt
Yarı ömür
k = ln 2 / t½
Newton’un soğuma yasası
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
İntegrasyon çarpanı
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Karıştırma tankı
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Alıştırma soruları

1.Sayısal yöntemlerOrta
xy012

∫02 1/√(1 + x⁴) dx integralini n = 2 şeritli Simpson kuralıyla yaklaşık olarak hesaplayın. S değerini verin.

f(x) = 1/√(1 + x⁴)[a, b] = [0, 2]n = 2
S =
2.Sayısal yöntemlerZor
00,51−10ty(0, −1)

y5 ≈ y(1,25) değerini tahmin etmek için y′ = cos t − y, y(0) = −1 üzerinde h = 0,25 ile Euler yöntemini kullanın.

y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,25
y5 =
3.Diziler ve serilerOrta
xx₀ = 0??R

Σk=1∞ xᵏ/(k²·5ᵏ) kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını, R, bulun.

Σ xᵏ/(k²·5ᵏ)x₀ = 0
R =
4.Diziler ve serilerZor
xyfP₂0,5

f(x) = 1/(1 + x) fonksiyonunun 2. dereceden Maclaurin polinomunu kullanarak f(0,5) değerini yaklaşık olarak bulun. P₂(0,5) değerini verin.

f(x) = 1/(1 + x)n = 2x = 0,5
P₂(0.5) =
5.Matrisler ve determinantlarOrta
A =−65−54B =53−35

Gösterilen matrisler için C = AB olsun. c22 elemanını bulun (satır 2, sütun 2).

A = [−6 5; −5 4]B = [5 3; −3 5]
c22 =
6.Matrisler ve determinantlarZor
A =2−349

Gösterilen A matrisinin büyük özdeğeri λ'ı bulun.

A = [2 −3; 4 9]
λ =
7.Diferansiyel denklemlerOrta
t (min)T (°C)15Ta​17 °C20 °C

6 °C’deki bir kutu gazoz buzdolabından çıkarılıp 22 °C’deki bir odaya alınıyor. 15 dakika sonra sıcaklığı 17 °C’dir. Newton’un soğuma yasasını izler: dT/dt = −k·(T − Tₐ). Başlangıçtan ne kadar süre sonra, t, 20 °C’ye ulaşır?

T0 = 6 °CTa = 22 °CT(15) = 17 °CT = 20 °C
t = min
8.Diferansiyel denklemlerZor
tyK = 5ymax​ = ?

Bir sistem t ≥ 0 için y″ + 2y′ + 10y = 50 denklemine uyuyor ve durgun halden başlıyor: y(0) = 0, y′(0) = 0. Basamak tepkisinin tepe değerini ymax bulun.

y″ + 2y′ + 10y = 50y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =

3Çözeltiler

1.Sayısal yöntemler

Cevap: S = 1,357

Sayısal integral: [a, b] aralığını x₀ … xₙ düğümleriyle h = (b − a)/n genişliğinde n şeride bölün. Yamuk kuralı: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Simpson kuralı (n çift): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Yamuk hatası h² gibi küçülür (sınır (b − a)h²·M/12, M = max|f″|), Simpson hatası h⁴ gibi; bu yüzden aynı düğümler için Simpson genellikle çok daha doğrudur.

ixᵢf(xᵢ)ağırlık0011110,7071074220,2425361

Düğümler ve değerler

h = 1
Σ wᵢfᵢ = 1 + 4·0,707107 + 0,242536 = 4,070963

Simpson kuralı

S = (1/3)·4,070963 = 1,357

Cevap

S = 1,357

Bu integralin temel fonksiyonlarla ifade edilen bir ters türevi yoktur; sayısal bir kuralın tam da gerektiği durum budur.

2.Sayısal yöntemler

Cevap: y5 = 0,3397

y′ = f(t, y) denkleminin sayısal çözümü: Euler yöntemi her adımın başındaki eğim boyunca ilerler: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Heun yöntemi (geliştirilmiş Euler) başlangıçtaki eğim ile bir Euler tahmininin eğiminin ortalamasını alır: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Klasik Runge–Kutta yöntemi (RK4) dört eğimi birleştirir: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Euler’in genel hatası h ile, Heun’un h² ile, RK4’ün h⁴ ile orantılıdır.

ntₙyₙf(tₙ, yₙ)yₙ₊₁00−12−0,510,25−0,51,468912−0,13277220,5−0,1327721,0103540,11981730,750,1198170,6118720,272785410,2727850,2675180,339664

Euler adımları

y₁ = −1 + 0,25·(2) = −0,5
y₂ = −0,5 + 0,25·(1,468912) = −0,132772
y₃ = −0,132772 + 0,25·(1,010354) = 0,119817
y₄ = 0,119817 + 0,25·(0,611872) = 0,272785
y₅ = 0,272785 + 0,25·(0,267518) = 0,339664
00,51−10ty

Grafik

y5 = 0,3397

Cevap

y5 = 0,3397
3.Diziler ve seriler

Cevap: R = 5

Yakınsaklık: terimler 0’a gitmiyorsa seri ıraksar (n. terim testi). Σ1/kᵖ yalnızca p > 1 için, Σrᵏ yalnızca |r| < 1 için yakınsar. Terimleri büyük k için bunlara benziyorsa bir seriyi bunlardan biriyle karşılaştırın. Oran testi: L = lim |ak+1/ak|; kök testi: L = lim |ak|1/k. L < 1 yakınsar, L > 1 ıraksar, L = 1 hiçbir şeye karar vermez. Bir kuvvet serisi Σck(x − x₀)ᵏ, R = lim |ck/ck+1| olmak üzere |x − x₀| < R için yakınsar; terimleri 0’a azalan değişen işaretli bir seri yakınsar.

Katsayılar

ck/ck+1 = 5·((k + 1)/k)² → 5

Yarıçap

R = 5

Cevap

R = 5

Oran testi iki uç noktada bir şey söylemez; bunlar ayrıca denetlenmelidir.

4.Diziler ve seriler

Cevap: P₂(0.5) = 0,75

Taylor polinomları: x = a yakınında türevlenebilir bir fonksiyon Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! ile yaklaşıklanır; a = 0 için bu Maclaurin polinomudur. Standart seriler: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Lagrange hata sınırı: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!; burada M, a ile x arasında |f⁽ⁿ⁺¹⁾|’in en büyük değeridir.

Maclaurin polinomu

P₂(x) = 1 − x + x²

Yerine koyun

P₂(0,5) = 1 − 0,5 + 0,25 = 0,75

Cevap

P₂(0,5) = 0,75

Tam değer f(0,5) = 0,666667’dir; daha fazla terim aldığınızda ya da 0’a daha yakın bir nokta seçtiğinizde hata, −0,0833333, küçülür.

5.Matrisler ve determinantlar

Cevap: c22 = 5

Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.

Satır çarpı sütun

c22 = (−5)·3 + 4·5 = 5

Cevap

c22 = 5
6.Matrisler ve determinantlar

Cevap: λ = 6

Matrisler: 2×2 matrisin determinantı ad − bc'dir. 3×3 için bir satır boyunca açın: her eleman, kendi satırı ve sütunu silinince kalan 2×2 matrisin determinantıyla çarpılır, işaretler + − + şeklinde değişir. Özdeğerler λ, det(A − λI) = 0'ı sağlar; 2×2 için bu λ² − (iz)·λ + det = 0'dır.

Karakteristik denklem

λ² − (11)λ + (30) = 0

Çözün

λ = (11 ± √(1))/2 → λ = 5, 6
λ = 6

Cevap

λ = 6
7.Diferansiyel denklemler

Cevap: t = 26,82 min

Birinci mertebe diferansiyel denklemler: dy/dt = k·y’nin çözümü y = y₀·ekt’dir (k > 0 için büyüme, k < 0 için azalma); T yarı ömrü k = ln 2/T verir. Newton’un soğuma yasası dT/dt = −k·(T − Tₐ), T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt verir. y′ + p(x)·y = q(x) lineer denklemi μ = e∫p dx integrasyon çarpanıyla çözülür: (μy)′ = μq, dolayısıyla μy = ∫μq dx + C.

Soğuma sabiti

k = ln(-16/-5)/15 = 0,07754 min⁻¹

Hedefe ulaşma süresi

t = ln(-16/(−2))/0,07754 = 26,82 min

Cevap

t = 26,82 min
8.Diferansiyel denklemler

Cevap: ymax = 6,755

İkinci mertebeden doğrusal denklemler: y″ + b·y′ + c·y = 0 için y = ert deneyin: bu, r² + b·r + c = 0 karakteristik denklemini verir. İki farklı gerçek kök r₁ ≠ r₂, y = A·er₁t + B·er₂t verir (aşırı sönümlü); çift kök r, y = (A + Bt)·ert verir (kritik sönümlü); −α ± jω karmaşık kökleri y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) verir (az sönümlü, salınımlı). Başlangıç değerleri y(0) ve y′(0), A ile B’yi belirler. y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 biçiminde yazıldığında ωn doğal frekans, ζ sönüm oranıdır: ζ < 1 salınım yapar. Sabit bir girişle, y″ + by′ + cy = c·K, çözüm K sürekli değeri artı serbest tepkidir.

Sürekli değer ve kökler

yss = 5, r = −1 ± 3j

Başlangıç değerlerinden sabitler

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5
y′(0) = −1A + 3B = 0 → B = −1,667

Tepe

t = π/3 = 1,047
ymax = 5·(1 + e−1·π/3) = 6,755

Cevap

ymax = 6,755

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods