Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Büyüklük
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Birim vektör
û = a/|a|
Açıdan bileşenler
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skaler çarpım
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü
a·b/|b|
İş
W = F·d
Vektörel çarpım
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Alanlar
paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment
MO = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi
V = |a·(b × c)|
Yöntem
Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.
Kiriş mesnet tepkileri
Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d
Yöntem
Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.
Kafes: düğüm yöntemi
Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç
Yöntem
Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.
Çerçeveler ve makineler
Her elemanın dengesi
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı
kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti
birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü
F = √(Fx² + Fy²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol
Fin·a = Fout·b
Mafsallı mengene (toggle)
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Yöntem
Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣFx = 0 ve ΣFy = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.
Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8
Yöntem
Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.
Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Alıştırma soruları
1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta
a = (7, 1, 7) vektörünün b = (0, 5, −4) vektörü üzerindeki skaler izdüşümünü compb a bulun, yani a vektörünün b doğrultusundaki bileşenini.
a = (7, 1, 7)b = (0, 5, −4)
compb a =
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor
Bir köşeden çıkan kenarları a = (−4, 3, 5), b = (−5, 2, −2) ve c = (5, 2, 0) olan paralelyüzlünün hacmini V bulun.
a = (−4, 3, 5)b = (−5, 2, −2)c = (5, 2, 0)
V =
3.Kiriş mesnet tepkileriOrta
Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 1 m uzaklıkta P tekil yükünü ve A’dan 3 m uzaklıkta saat yönünün tersine dönen M kuvvet çiftini taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki RB değerini bulun.
L = 4 mP = 25 kN @ 1 mM = 20 kN·m (saat yönünün tersine) @ 3 m
RB = kN
4.Kiriş mesnet tepkileriZor
Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 1,5 m uzaklıkta yatayla 45° açı yapan bir P yükü ve A’dan 4 m uzaklıkta düşey bir Q yükü etkir. A mafsalındaki toplam tepki kuvvetinin büyüklüğü RA değerini bulun.
L = 5 mP = 75 kN @ 1,5 m, θ = 45°Q = 55 kN @ 4 m
RA = kN
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.
açıklık = 6 myükseklik = 4 mB, A’dan 5 m uzaktadüşey yük = 35 kN
açıklık = 8 myükseklik = 2 mB, A’dan 6 m uzaktadüşey yük = 50 kNyatay yük = 25 kN →
FBC = kN
7.Çerçeveler ve makinelerOrta
Gösterilen çerçevenin A, B ve C’de pimleri var; A ve C birbirinden 5 m uzaktaki noktalarda zemine sabitlenmiştir, B ise zeminden 2,5 m yukarıda ve A’nın 1,5 m sağındadır. AB elemanına, A’dan (yatayda) 0,9 m uzaktaki K noktasında 20 kN’luk düşey bir yük etkiyor. BC elemanındaki kuvveti FBC bulun.
Ağırlığı 1 kN olan düzgün, yatay bir AB bomu A’da duvara pimlenmiştir ve B’den duvardaki, A’nın 2 m üzerindeki C noktasına giden bir kabloyla tutulmaktadır. B’de 4 kN’luk bir yük asılıdır. Pim tepkisinin büyüklüğünü A bulun.
W = 4 kNWb = 1 kNAB = 4 mAC = 2 m
A = kN
9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
Basit mesnetli kiriş, A’dan x = 4 m uzaklıkta saat yönünde M0 = 30 kN·m kuvvet çifti taşır; başka yük yoktur. Kuvvet çiftinin hemen solundaki eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.
L = 8 mM0 = 30 kN·m saat yönünde, konumu 4 m
Mx = kN·m
10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.
40 kN @ 0 m15 kN @ 12 m8 kN/m, 2–8 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
150 mm × 240 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 84 mm yukarıda olan 40 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.
b = 150 mmh = 240 mmd = 40 mmdelik merkezi: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 15 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σalt değerini bulun.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Skaler çarpım
a·b = 7·0 + 1·5 + 7·(−4) = −23
b’nin uzunluğu
|b| = √(0² + 5² + (−4)²) = 6,403
Skaler izdüşüm
compb a = a·b/|b| = −23/6,403 = −3,592
Cevap
compb a = −3,592
Negatif: a’nın b’ye ters yönde bir bileşeni vardır.
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Cevap: V = 146
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vektörel çarpım b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 2·0 − (−2)·2 = 4
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−2)·5 − (−5)·0 = −10
(b × c)z = bxcy − bycx = (−5)·2 − 2·5 = −20
a ile skaler çarpım
a·(b × c) = (−4)·4 + 3·(−10) + 5·(−20) = −146
V = |−146| = 146
Cevap
V = 146
3.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: RB = 1,25 kN
Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.
A’ya göre momentler
Saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: RB·4 − 25·1 + 20 = 0
RB = 5/4 = 1,25 kN
Düşey denge
RA = 25 − 1,25 = 23,75 kN
Cevap
RB = 1,25 kN
Negatif tepki aşağı doğru etkir.
4.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: RA = 71,61 kN
Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.
P’nin bileşenleri
Pv = 75·sin 45° = 53,03 kN
Ph = 75·cos 45° = 53,03 kN
Tepkiler
ΣMA = 0: RB·5 = 53,03·1,5 + 55·4 → RB = 59,91 kN
Ay = 53,03 + 55 − 59,91 = 48,12 kN
Ax = Ph = 53,03 kN
A’daki bileşke
RA = √(53,03² + 48,12²) = 71,61 kN
Cevap
RA = 71,61 kN
5.Kafes: düğüm yöntemi
Cevap: FAB = −9,338 kN
Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.
Mesnet tepkileri
Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: Cy·6 = 35·5 → Cy = 29,17 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 29,17 = 5,833 kN
A düğümü
Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.
sin α = 4/6,403 = 0,6247
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −5,833/0,6247 = −9,338 kN
Cevap
FAB = −9,338 kN (basınç)
6.Kafes: düğüm yöntemi
Cevap: FBC = −61,87 kN
Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.
Mesnet tepkileri
Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: Cy·8 = 50·6 + 25·2 → Cy = 43,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 43,75 = 6,25 kN
ΣFx = 0: Ax = −25 kN
C düğümü
Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.
sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
İki kuvvet elemanı BC
BC = √(3,5² + 2,5²) = 4,301 m
Tüm çerçeve: A’ya göre momentler
Zemin, C’de BC’ye CB boyunca iter; yatay bileşeni A’dan geçer, yalnızca düşey bileşenin momenti vardır.
FBC·(2,5/4,301)·5 = 20·0,9
FBC = 6,194 kN (basınç)
Cevap
FBC = 6,194 kN
8.Çerçeveler ve makineler
Cevap: A = 9,014 kN
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
Kablodaki çekme kuvveti
T = (4 + 1/2)/0,4472 = 10,06 kN
A’daki bileşenler
Ax = T·cos β = 9 kN
Ay = 4 + 1 − T·sin β = 0,5 kN
Büyüklük
A = √(9² + 0,5²) = 9,014 kN
Cevap
A = 9,014 kN
9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: Mx = −15 kN·m
Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler. Uygulanan bir kuvvet çifti, eğilme momenti diyagramında kuvvet çiftinin büyüklüğü kadar sıçrama oluşturur.
Mesnet tepkileri
A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif: RB·L − M0 = 0. Düşey denge: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 30/8 = 3,75 kN (yukarı)
RA = −RB = −3,75 kN (aşağı)
Kuvvet çiftinin hemen solundan kesin
Sol parça yalnızca RA’yı içerir.
Mx = RA·a = −3,75·4 = −15 kN·m
Cevap
Mx = −15 kN·m
10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: B (x = 2 m)
En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.
Mesnet tepkileri
Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.
R1 = 67,33 kN, R2 = 35,67 kN
Her işaretteki eğilme momenti
Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.
MA = 0, MB = −80 kN·m, MC = −41,33, MD = −34,67, ME = −60, MF = −30, MG = 0
Cevap
İşaret B: MB = −80 kN·m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Cevap: Ix = 171 × 10⁶ mm⁴
Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.
Ağırlık merkezi
ȳ = (36000·120 − 1257·84)/(36000 − 1257) = 121,3 mm
Tam levha, ȳ’ye göre
150·240³/12 + 36000·−1,302² = 172,9 × 10⁶ mm⁴
Delik, ȳ’ye göre
π·40⁴/64 + 1257·−37,3² = 1,874 × 10⁶ mm⁴
Çıkarın
Ix = 171 × 10⁶ mm⁴
Cevap
Ix = 171 × 10⁶ mm⁴
12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Cevap: σalt = 59,14 MPa
Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.
İki dikdörtgene ayırın
Her y’yi alt kenardan ölçün.
başlık: Af = 300·20 = 6000 mm², yf = 280 + 20/2 = 290 mm
gövde: Aw = 10·280 = 2800 mm², yw = 280/2 = 140 mm