Statik: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Büyüklük: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Birim vektör: û = a/|a|
Açıdan bileşenler: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaler çarpım: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü: a·b/|b|
İş: W = F·d
Vektörel çarpım: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Alanlar: paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment: M_O = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi: V = |a·(b × c)|

Yöntem

Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Çerçeveler ve makineler

Her elemanın dengesi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı: kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti: birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü: F = √(F_x² + F_y²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol: F_in·a = F_out·b
Mafsallı mengene (toggle): F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında

Yöntem

Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Alıştırma soruları

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta

a = (4, 4, −6) ve b = (−5, 6, −3) vektörleri arasındaki θ açısını derece cinsinden bulun.

a = (4, 4, −6)b = (−5, 6, −3)

θ = °

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor

F = (−40, −30, −30) N kuvveti A(−1, −4, 4) noktasına etki ediyor. Koordinatlar metre cinsindendir. Kuvvetin O(0, 0, 0) orijini noktasına göre momentinin x bileşenini M_x bulun.

F = (−40, −30, −30) NA(−1, −4, 4) mO(0, 0, 0) m

M_x = N·m

3.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_A değerini bulun.

L = 4 mP₁ = 25 kN @ 2 mP₂ = 15 kN @ 2,5 m

R_A = kN

4.Kiriş mesnet tepkileriZor

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. A’dan 3 m uzaklıkta yatayla 60° açı yapan bir P yükü ve A’dan 0,5 m uzaklıkta düşey bir Q yükü etkir. A mafsalındaki toplam tepki kuvvetinin büyüklüğü R_A değerini bulun.

L = 4 mP = 80 kN @ 3 m, θ = 60°Q = 70 kN @ 0,5 m

R_A = kN

5.Kafes: düğüm yöntemiOrta

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

G: 35 kN ↓

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12BG elemanı
13DG elemanı

6.Kafes: düğüm yöntemiZor

Bu kafes sistemin tam olarak bir elemanı bu yükler altında kuvvet taşımaz. Sıfır kuvvet elemanı hangisidir? Diyagramda ona tıklayın.

B: 30 kN ↓F: 30 kN ↓H: 40 kN ←

1AB elemanı
2BC elemanı
3CD elemanı
4DE elemanı
5FG elemanı
6GH elemanı
7AF elemanı
8HE elemanı
9BF elemanı
10CG elemanı
11DH elemanı
12BG elemanı
13DG elemanı

7.Çerçeveler ve makinelerOrta

Yatay bir AB kirişi A’da duvara pimlenmiştir ve A’nın 1,2 m altında C’de duvara pimlenmiş CD payandasıyla desteklenmiştir. B’de 10 kN’luk bir yük asılıdır. Ağırlıkları yok sayın. Kirişe A’da etkiyen pim kuvvetinin büyüklüğünü A bulun.

P = 10 kNAD = 0,6 mAB = 2 mAC = 1,2 m

A = kN

8.Çerçeveler ve makinelerZor

Ağırlığı 2 kN olan düzgün, yatay bir AB bomu A’da duvara pimlenmiştir ve B’den duvardaki, A’nın 3 m üzerindeki C noktasına giden bir kabloyla tutulmaktadır. B’de 12 kN’luk bir yük asılıdır. Pim tepkisinin büyüklüğünü A bulun.

W = 12 kNW_b = 2 kNAB = 2 mAC = 3 m

A = kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A mesnedinden x = 1,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 4 mw = 2 kN/m, 0 ile 4 m arasındax = 1,5 m

M_x = kN·m

10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

50 kN @ 0 m50 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

Dairesel bir borunun dış çapı D = 200 mm ve iç çapı d = 168 mm’tür. Yatay ağırlık merkezi eksenine göre atalet yarıçapı r değerini bulun.

D = 200 mmd = 168 mm

r = mm

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

Kaynaklı bir I kesitin 170 × 24 mm üst başlığı, 270 mm yüksekliğinde ve 8 mm kalınlığında gövdesi ve 290 × 18 mm alt başlığı vardır (genişlik × kalınlık). Ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

üst başlık: 170 × 24 mmgövde: 8 × 270 mmalt başlık: 290 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Çözeltiler

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: θ = 71,41 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Skaler çarpım

a·b = 4·(−5) + 4·6 + (−6)·(−3) = 22

Büyüklükler

|a| = √(4² + 4² + (−6)²) = 8,246

|b| = √((−5)² + 6² + (−3)²) = 8,367

Açı

cos θ = 22/(8,246·8,367) = 0,3189

θ = arccos(0,3189) = 71,41°

Cevap

θ = 71,41°

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: M_x = 240 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

O’dan A’ya konum vektörü

r = A − O = (−1, −4, 4) − (0, 0, 0) = (−1, −4, 4) m

Moment M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−4)·(−30) − 4·(−30) = 240 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 4·(−40) − (−1)·(−30) = −190 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−1)·(−30) − (−4)·(−40) = −130 N·m

İstenen bileşen

M_x = 240 N·m

Cevap

M_x = 240 N·m

3.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 18,13 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·2 + 15·2,5

R_B = 87,5/4 = 21,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 21,88 = 18,13 kN

Cevap

R_A = 18,13 kN

4.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 88,17 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

P’nin bileşenleri

P_v = 80·sin 60° = 69,28 kN

P_h = 80·cos 60° = 40 kN

Tepkiler

ΣM_A = 0: R_B·4 = 69,28·3 + 70·0,5 → R_B = 60,71 kN

A_y = 69,28 + 70 − 60,71 = 78,57 kN

A_x = P_h = 40 kN

A’daki bileşke

R_A = √(40² + 78,57²) = 88,17 kN

Cevap

R_A = 88,17 kN

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 23,33 kN (T), BC: 46,67 kN (T), CD: 46,67 kN (T), DE: 23,33 kN (T), FG: 23,33 kN (C), GH: 23,33 kN (C), AF: 29,17 kN (C), HE: 29,17 kN (C), BF: 17,5 kN (T), CG: 0, DH: 17,5 kN (T), BG: 29,17 kN (C), DG: 29,17 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG

6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: CG elemanı

C düğüm noktası

BC ve CD aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca CG’yi bırakır.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin

Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).

AB: 3,75 kN (T), BC: 2,5 kN (T), CD: 2,5 kN (T), DE: 1,25 kN (T), FG: 43,75 kN (C), GH: 41,25 kN (C), AF: 72,92 kN (C), HE: 2,083 kN (C), BF: 28,33 kN (T), CG: 0, DH: 1,667 kN (T), BG: 2,083 kN (T), DG: 2,083 kN (C)

Cevap

Sıfır kuvvet elemanı: CG

7.Çerçeveler ve makineler

Cevap: A = 28,67 kN

Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.

Payanda kuvveti

F_CD = 10·2/(0,8944·0,6) = 37,27 kN

A’daki bileşenler

A_x = F_CD·cos α = 16,67 kN (duvara doğru)

A_y = 10 − F_CD·sin α = −23,33 kN

Büyüklük

A = √(16,67² + −23,33²) = 28,67 kN

Cevap

A = 28,67 kN

Negatif bir A_y, duvarın kirişi A’da aşağı çektiği anlamına gelir.

8.Çerçeveler ve makineler

Cevap: A = 8,724 kN

Kablodaki çekme kuvveti

T = (12 + 2/2)/0,8321 = 15,62 kN

A’daki bileşenler

A_x = T·cos β = 8,667 kN

A_y = 12 + 2 − T·sin β = 1 kN

Büyüklük

A = √(8,667² + 1²) = 8,724 kN

Cevap

A = 8,724 kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 3,75 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, x̄ = 2 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

x = 1,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 4·1,5 − 2·1,5·0,75 = 3,75 kN·m

Cevap

M_x = 3,75 kN·m

10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 4 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 33,33 kN, R₂ = 66,67 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = −50, M_C = −66,67, M_D = −83,33, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = −100 kN·m

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: r = 65,3 mm

Atalet momenti: bir dikdörtgen için kendi ağırlık merkezi eksenine göre I = bh³/12, tabanına göre bh³/3’tür (paralel eksen teoremi I = I_c + A·d²). Bir boşluk, her iki parça aynı ekseni paylaştığı sürece I’sı çıkarılarak hesaba katılır. Elastik kesit modülü S = I/c’dir; c, en dış life olan uzaklıktır. Atalet yarıçapı r = √(I/A), tüm alanın aynı I’yı vereceği uzaklıktır; kolon burkulmasında kullanılır.

Net alan ve atalet momenti

A = π(D² − d²)/4 = 9249 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3,944 × 10⁷ mm⁴

Atalet yarıçapı

r = √(I/A) = √(3,944 × 10⁷/9249) = 65,3 mm

Cevap

r = 65,3 mm

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 207,9 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

Üç dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

üst başlık: A = 4080 mm², y = 300 mm

gövde: A = 2160 mm², y = 153 mm

alt başlık: A = 5220 mm², y = 9 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (4080·300 + 2160·153 + 5220·9)/11460 = 139,7 mm

Paralel eksen teoremi

üst başlık: 170·24³/12 + 4080·160,3² = 1,05 × 10⁸ mm⁴

gövde: 8·270³/12 + 2160·13,26² = 1,35 × 10⁷ mm⁴

alt başlık: 290·18³/12 + 5220·130,7² = 8,937 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,05 × 10⁸ + 1,35 × 10⁷ + 8,937 × 10⁷

I_x = 2,079 × 10⁸ mm⁴ = 207,9 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 207,9 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics