Statik: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Büyüklük: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Birim vektör: û = a/|a|
Açıdan bileşenler: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Skaler çarpım: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü: a·b/|b|
İş: W = F·d
Vektörel çarpım: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Alanlar: paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment: M_O = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi: V = |a·(b × c)|

Yöntem

Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.

Kiriş mesnet tepkileri

Denge: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında
Moment: M = F·d

Yöntem

Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣF_y = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Kesit yöntemi: ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti: pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣF_x = 0 ile ΣF_y = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Çerçeveler ve makineler

Her elemanın dengesi: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı: kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti: birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü: F = √(F_x² + F_y²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol: F_in·a = F_out·b
Mafsallı mengene (toggle): F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük: bileşke w·L, yükün ortasında

Yöntem

Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment: V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi: σ = M·y/I
Dikdörtgen: I = bh³/12
Kesit modülü: W = I/y_max
Basit mesnetli, düzgün yük: M_max = wL²/8

Yöntem

Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Dikdörtgen: I = bh³/12
Paralel eksen teoremi: I = I_c + A·d²
Bileşik kesit: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Alıştırma soruları

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta

a = (2, 3, 4) ve b = (−1, 1, 3) vektörlerinin skaler çarpımını a·b bulun.

a = (2, 3, 4)b = (−1, 1, 3)

a·b =

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor

F = (60, 20, −20) N kuvveti A(−3, −4, 2) noktasına etki ediyor. Koordinatlar metre cinsindendir. Kuvvetin O(0, 0, 0) orijini noktasına göre momentinin y bileşenini M_y bulun.

F = (60, 20, −20) NA(−3, −4, 2) mO(0, 0, 0) m

M_y = N·m

3.Kiriş mesnet tepkileriOrta

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi R_A değerini bulun.

L = 4 mP₁ = 45 kN @ 1,5 mP₂ = 45 kN @ 3 m

R_A = kN

4.Kiriş mesnet tepkileriZor

Kirişin A’da sabit mafsalı ve A’dan 4 m uzaklıkta B’de kayıcı mesnedi var; B’den serbest uç C’ye kadar çıkma yapar. A’dan 1,5 m uzaklıkta P tekil yükünü ve 3,5 m konumundan 6 m konumundaki serbest uca kadar düzgün yayılı w yükünü taşır. Yukarıyı pozitif alarak düşey tepki R_A değerini bulun.

AB = 4 mAC = 6 mP = 75 kN @ 1,5 mw = 4 kN/m, 3,5 ile 6 m arasında

R_A = kN

5.Kafes: düğüm yöntemiOrta

AC çubuğundaki F_AC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 3 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 20 kN

F_AC = kN

6.Kafes: düğüm yöntemiZor

BC çubuğundaki F_BC kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 5 myükseklik = 3 mB, A’dan 2 m uzaktadüşey yük = 25 kNyatay yük = 25 kN →

F_BC = kN

7.Çerçeveler ve makinelerOrta

Gösterilen A çerçevesi, birbirinden 2 m uzaktaki A pimi ve B makarası üzerinde duruyor. Bacaklar 2,4 m yüksekteki C pimi’nde buluşuyor ve yatay DE bağı zeminden 0,8 m yukarıda. C’de 12 kN’luk bir yük etkiyor. C pimi’nin BC bacağına uyguladığı kuvvetin büyüklüğünü C bulun.

P = 12 kNAB = 2 mC’nin yüksekliği = 2,4 mDE’nin yüksekliği = 0,8 m

C = kN

8.Çerçeveler ve makinelerZor

Ağırlığı 3 kN olan düzgün, yatay bir AB bomu A’da duvara pimlenmiştir ve ucu B’den duvardaki, A’nın 2,5 m üzerindeki C noktasına giden bir kabloyla tutulmaktadır. B’de 4 kN’luk bir yük asılıdır. Kablodaki çekme kuvvetini T bulun.

W = 4 kNW_b = 3 kNAB = 5 mAC = 2,5 m

T = kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

35 kN @ 8 m5 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor

A mesnedinden x = 6,5 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti M_x değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.

L = 10 mP = 55 kN @ 3 mw = 5 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 6,5 m

M_x = kN·m

11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta

T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti I_x değerini bulun.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 5 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σ_alt değerini bulun.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mmM = 5 kN·m

σ_alt = MPa

3Çözeltiler

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: a·b = 13

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Karşılıklı bileşenleri çarpıp toplayın

a·b = 2·(−1) + 3·1 + 4·3 = (−2) + 3 + 12 = 13

Cevap

a·b = 13

Pozitif: vektörler arasındaki açı 90°’den küçüktür.

2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: M_y = 60 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

O’dan A’ya konum vektörü

r = A − O = (−3, −4, 2) − (0, 0, 0) = (−3, −4, 2) m

Moment M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−4)·(−20) − 2·20 = 40 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 2·60 − (−3)·(−20) = 60 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−3)·20 − (−4)·60 = 180 N·m

İstenen bileşen

M_y = 60 N·m

Cevap

M_y = 60 N·m

3.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 39,38 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1,5 + 45·3

R_B = 202,5/4 = 50,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 50,63 = 39,38 kN

Cevap

R_A = 39,38 kN

4.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: R_A = 45 kN

Statik denge: durgun bir cisim için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.

Yayılı yükün bileşkesi

W = 4·2,5 = 10 kN, x̄ = (3,5 + 6)/2 = 4,75 m

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 75·1,5 + 10·4,75

R_B = 160/4 = 40 kN

R_A = 85 − 40 = 45 kN

Cevap

R_A = 45 kN

5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_AC = 8 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣF_x = 0 ve ΣF_y = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 20·3 → C_y = 12 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 12 = 8 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12/0,8321 = −14,42 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−14,42)·0,5547 = 8 kN

Cevap

F_AC = 8 kN (çekme)

6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: F_BC = −35,36 kN

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·2 + 25·3 → C_y = 25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 25 = 0 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

C düğümü

Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −25/0,7071 = −35,36 kN

Cevap

F_BC = −35,36 kN (basınç)

7.Çerçeveler ve makineler

Cevap: C = 7,075 kN

Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.

BC bacağından bağ kuvveti

B_y = 6 kN

T = 6·1/1,6 = 3,75 kN

BC üzerindeki pim kuvvetinin bileşenleri

C_x = T = 3,75 kN, C_y = −B_y = −6 kN

Büyüklük

C = √(3,75² + 6²) = 7,075 kN

Cevap

C = 7,075 kN

8.Çerçeveler ve makineler

Cevap: T = 12,3 kN

Kablo açısı

BC = √(5² + 2,5²) = 5,59 m, sin β = 0,4472

A’ya göre momentler

T·0,4472·5 = 4·5 + 3·2,5

T = 12,3 kN

Cevap

T = 12,3 kN

9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: E (x = 8 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R₁ = 41,67 kN, R₂ = 53,33 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

M_A = 0, M_B = 73,33, M_C = 126,7, M_D = 160, M_E = 173,3 kN·m, M_F = 96,67, M_G = 0

Cevap

İşaret E: M_E = 173,3 kN·m

10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: M_x = 114,6 kN·m

Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.

Mesnet tepkileri

Tüm kirişin dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·3 + 5·10·5

R_B = 415/10 = 41,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 41,5 = 63,5 kN

x = 6,5 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun

Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.

M = R_A·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)

M_x = 63,5·6,5 − 55·(6,5 − 3) − 5·6,5·3,25 = 114,6 kN·m

Cevap

M_x = 114,6 kN·m

11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: I_x = 28,81 × 10⁶ mm⁴

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

gövde: A_w = 20·160 = 3200 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·175 + 3200·80)/12200 = 150,1 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 300·30³/12 + 9000·(175 − 150,1)² = 6,263 × 10⁶ mm⁴

gövde: 20·160³/12 + 3200·(80 − 150,1)² = 2,254 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,263 × 10⁶ + 2,254 × 10⁷ = 2,881 × 10⁷ mm⁴ = 28,81 × 10⁶ mm⁴

Cevap

I_x = 28,81 × 10⁶ mm⁴

12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σ_alt = 25,08 MPa

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

gövde: A_w = 18·180 = 3240 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·195 + 3240·90)/8040 = 152,7 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 160·30³/12 + 4800·(195 − 152,7)² = 8,954 × 10⁶ mm⁴

gövde: 18·180³/12 + 3240·(90 − 152,7)² = 2,148 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,954 × 10⁶ + 2,148 × 10⁷ = 3,043 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Alt kenar eksenden ȳ uzaklıktadır.

y = 152,7 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·152,7/3,043 × 10⁷ = 25,08 MPa

Cevap

σ_alt = 25,08 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics