Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.
1Formüller ve yöntemler
Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Büyüklük
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Birim vektör
û = a/|a|
Açıdan bileşenler
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skaler çarpım
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü
a·b/|b|
İş
W = F·d
Vektörel çarpım
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Alanlar
paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment
MO = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi
V = |a·(b × c)|
Yöntem
Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.
Kiriş mesnet tepkileri
Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d
Yöntem
Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.
Kafes: düğüm yöntemi
Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç
Yöntem
Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.
Çerçeveler ve makineler
Her elemanın dengesi
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı
kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti
birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü
F = √(Fx² + Fy²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol
Fin·a = Fout·b
Mafsallı mengene (toggle)
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Yöntem
Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣFx = 0 ve ΣFy = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.
Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8
Yöntem
Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.
Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Alıştırma soruları
1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta
a = (1, 1, −3) vektörünün b = (4, 2, −2) vektörü üzerindeki skaler izdüşümünü compb a bulun, yani a vektörünün b doğrultusundaki bileşenini.
a = (1, 1, −3)b = (4, 2, −2)
compb a =
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor
F = (−50, 50, 50) N kuvveti A(−2, −4, −2) noktasına etki ediyor. Koordinatlar metre cinsindendir. Kuvvetin O(0, 0, 0) orijini noktasına göre momentinin büyüklüğünü |M| bulun.
F = (−50, 50, 50) NA(−2, −4, −2) mO(0, 0, 0) m
|M| = N·m
3.Kiriş mesnet tepkileriOrta
Basit mesnetli kiriş (A’da sabit mafsal, B’de kayıcı mesnet), A’da 8 kN/m değerinden B’de sıfıra doğrusal azalan bir yük taşır. A’dan 4 m uzaklıkta bir P tekil yükü de etkir. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.
L = 5 mw0 = 8 kN/mP = 70 kN @ 4 m
RA = kN
4.Kiriş mesnet tepkileriZor
Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.
L = 4 mP = 50 kN @ 3 mw = 8 kN/m, 0 ile 1 m arasında
Yatay bir AB kirişi A’da duvara pimlenmiştir ve A’nın 1,2 m altında C’de duvara pimlenmiş CD payandasıyla desteklenmiştir. B’de 10 kN’luk bir yük asılıdır. Ağırlıkları yok sayın. Kirişe A’da etkiyen pim kuvvetinin büyüklüğünü A bulun.
P = 10 kNAD = 0,75 mAB = 2 mAC = 1,2 m
A = kN
8.Çerçeveler ve makinelerZor
Ağırlığı 1 kN olan düzgün, yatay bir AB bomu A’da duvara pimlenmiştir ve B’den duvardaki, A’nın 1,5 m üzerindeki C noktasına giden bir kabloyla tutulmaktadır. B’de 15 kN’luk bir yük asılıdır. Pim tepkisinin büyüklüğünü A bulun.
W = 15 kNWb = 1 kNAB = 4 mAC = 1,5 m
A = kN
9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
A mesnedinden x = 9 m uzaklıktaki kesitte kesme kuvveti Vx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.
L = 10 mw = 5 kN/m, 0 ile 10 m arasındax = 9 m
Vx = kN
10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
A mesnedinden x = 2 m uzaklıktaki kesitte eğilme momenti Mx değerini bulun. Alt lifleri çeken momentleri ve sol yüzde yukarı doğru kesme kuvvetini pozitif alın.
L = 8 mP = 20 kN @ 2 mw = 3 kN/m, 0 ile 8 m arasındax = 2 m
Mx = kN·m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
T kesitin ağırlık merkezinden geçen yatay x eksenine göre atalet momenti Ix değerini bulun.
bf = 260 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 300 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
200 mm × 150 mm boyutlarındaki bir levhada, 50 mm genişliğinde ve 40 mm yüksekliğinde, düşey merkez çizgisine ortalanmış ve merkezi alttan 90 mm yukarıda olan dikdörtgen bir kesik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.
b = 200 mmh = 150 mmkesik: 50 × 40 mmdelik merkezi: y = 90 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
3Çözeltiler
1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Cevap: compb a = 2,449
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Skaler çarpım
a·b = 1·4 + 1·2 + (−3)·(−2) = 12
b’nin uzunluğu
|b| = √(4² + 2² + (−2)²) = 4,899
Skaler izdüşüm
compb a = a·b/|b| = 12/4,899 = 2,449
Cevap
compb a = 2,449
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım
Cevap: |M| = 374,2 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
O’dan A’ya konum vektörü
r = A − O = (−2, −4, −2) − (0, 0, 0) = (−2, −4, −2) m
Statik denge: durgun bir cisim için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve herhangi bir noktaya göre ΣM = 0’dır. Her yayılı yükü, yük diyagramının ağırlık merkezinde etkiyen bileşkesiyle (alanıyla) değiştirin ve o mesnedin tepkisini denklemden çıkarmak için bir mesnede göre moment alın.
Üçgen yükün bileşkesi
W = ½·8·5 = 20 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m
Denge
A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.
ΣMA = 0: RB·5 = 20·1,667 + 70·4
RB = 62,67 kN
RA = 90 − 62,67 = 27,33 kN
Cevap
RA = 27,33 kN
4.Kiriş mesnet tepkileri
Cevap: RA = 19,5 kN
Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.
Serbest cisim diyagramı
Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.
Denge
A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.
Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN, x̄ = 0,5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·4 = 50·3 + 8·1·0,5
RB = 154/4 = 38,5 kN
ΣFy = 0: RA = 58 − 38,5 = 19,5 kN
Cevap
RA = 19,5 kN
5.Kafes: düğüm yöntemi
Cevap: FBC = −8,839 kN
Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.
Mesnet tepkileri
Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.
ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 → Cy = 6,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 6,25 = 18,75 kN
C düğümü
Kayıcı mesnet yalnızca düşey tepki verir, bu yüzden C düğümünde yalnızca iki bilinmeyen çubuk kuvveti vardır. İkisinin de çekmede olduğunu varsayın.
sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
Sıfır kuvvet elemanları: bir düğüm noktasında kuvvetler her yönde dengelenmelidir. Bir düğüm noktasında yük ve mesnet yoksa ve üç elemanından ikisi aynı doğru üzerindeyse, o doğruya dik dengede yalnızca üçüncü eleman yer alır, yani kuvveti sıfırdır. Yüksüz bir düğüm noktasında yalnızca iki eleman buluşuyorsa ve aynı doğru üzerinde değillerse, ikisi de sıfırdır.
B düğüm noktası
AB ve BC aynı düz doğru üzerindedir ve düğüm noktası yük taşımaz. O doğruya dik kuvvetleri dengelemek yalnızca BF’yi bırakır.
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
Düğüm noktaları yöntemiyle kontrol edin
Tüm düğüm noktalarını çözmek şu eleman kuvvetlerini verir (T = çekme, C = basınç).
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
Payanda kuvveti
FCD = 10·2/(0,848·0,75) = 31,45 kN
A’daki bileşenler
Ax = FCD·cos α = 16,67 kN (duvara doğru)
Ay = 10 − FCD·sin α = −16,67 kN
Büyüklük
A = √(16,67² + −16,67²) = 23,57 kN
Cevap
A = 23,57 kN
Negatif bir Ay, duvarın kirişi A’da aşağı çektiği anlamına gelir.
8.Çerçeveler ve makineler
Cevap: A = 41,34 kN
Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.
Kablodaki çekme kuvveti
T = (15 + 1/2)/0,3511 = 44,14 kN
A’daki bileşenler
Ax = T·cos β = 41,33 kN
Ay = 15 + 1 − T·sin β = 0,5 kN
Büyüklük
A = √(41,33² + 0,5²) = 41,34 kN
Cevap
A = 41,34 kN
9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: Vx = −20 kN
Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.
Mesnet tepkileri
Tüm kirişin dengesi.
Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·10 = 5·10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
x = 9 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun
Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.
V = RA − (kesitin solundaki tüm aşağı yükler)
Vx = 25 − 5·9 = −20 kN
Cevap
Vx = −20 kN
10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti
Cevap: Mx = 48 kN·m
Kesit yöntemi: iç kuvvetleri istediğiniz yerde kirişi kesin ve bir tarafı tutun. Kesme kuvveti V o taraftaki düşey kuvvetleri, eğilme momenti M ise onların kesite göre momentlerini dengeler.
Mesnet tepkileri
Tüm kirişin dengesi.
Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, x̄ = 4 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·8 = 20·2 + 3·8·4
RB = 136/8 = 17 kN
ΣFy = 0: RA = 44 − 17 = 27 kN
x = 2 m noktasında kesin ve sol parçayı tutun
Yalnızca kesitin solundaki kuvvetler dikkate alınır. Yayılı yükün bir kısmı, o kısmın ortasında tek bir kuvvet gibi etkir.
M = RA·x − (kesitin solundaki her yük × kesite uzaklığı)
Mx = 27·2 − 3·2·1 = 48 kN·m
Cevap
Mx = 48 kN·m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti
Cevap: Ix = 81,74 × 10⁶ mm⁴
Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.
İki dikdörtgene ayırın
Her y’yi alt kenardan ölçün.
başlık: Af = 260·15 = 3900 mm², yf = 300 + 15/2 = 307,5 mm
gövde: Aw = 14·300 = 4200 mm², yw = 300/2 = 150 mm
Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.
Ağırlık merkezi
ȳ = (30000·75 − 2000·90)/(30000 − 2000) = 73,93 mm