Statik: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Büyüklük
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Birim vektör
û = a/|a|
Açıdan bileşenler
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Skaler çarpım
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
a’nın b üzerindeki skaler izdüşümü
a·b/|b|
İş
W = F·d
Vektörel çarpım
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Alanlar
paralelkenar |a × b|, üçgen ½|a × b|
O’ya göre moment
MO = r × F, r = A − O
Paralelyüzlünün hacmi
V = |a·(b × c)|

Yöntem

  1. Her vektörü bileşenleriyle yazın; büyüklük ve açıyla verilen bir kuvvet için F·cos θ ve F·sin θ kullanın.
  2. Uzunluklar ve doğrultular için √(x² + y² + z²) büyüklüğünü ve a/|a| birim vektörünü kullanın.
  3. Açılar, izdüşümler, diklik ve iş için skaler çarpımı kullanın: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Dik vektörler, alanlar ve momentler için vektörel çarpımı kullanın: üç bileşeni dikkatle yazın ve a × b sırasını koruyun.

Kiriş mesnet tepkileri

Denge
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında
Moment
M = F·d

Yöntem

  1. Serbest cisim diyagramı çizin ve her mesneti tepkileriyle değiştirin.
  2. Her yayılı yükü ağırlık merkezine etkiyen tek bir kuvvetle değiştirin.
  3. Diğer mesnetteki tepkiyi bulmak için bir mesnete göre moment alın.
  4. Kalan tepkiyi ΣFy = 0 ile bulun ve ikinci bir moment denklemiyle kontrol edin.

Kafes: düğüm yöntemi

Düğüm yöntemi
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Kesit yöntemi
ΣM = 0 about a cut point
Çubuk kuvveti
pozitif = çekme, negatif = basınç

Yöntem

  1. Tüm kafes sistemin mesnet tepkilerini bulun.
  2. Düğüm noktaları yöntemi: en fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın ve ΣFx = 0 ile ΣFy = 0 kullanın.
  3. Kesim yöntemi: gereken çubuktan kesin ve diğer bilinmeyen çubukların kesiştiği bir noktaya göre moment alın.
  4. Çekme varsayın; negatif cevap basınç demektir.

Çerçeveler ve makineler

Her elemanın dengesi
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
İki kuvvet elemanı
kuvvet, iki pimini birleştiren doğru boyunca
Pim kuvveti
birleştirdiği iki elemanda eşit ve zıt yönlü
Pim kuvvetinin büyüklüğü
F = √(Fx² + Fy²)
Kaldıraç, pense, dirsekli kol
Fin·a = Fout·b
Mafsallı mengene (toggle)
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Düzgün yük
bileşke w·L, yükün ortasında

Yöntem

  1. Tüm yapının şemasını çizin ve bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkilerini bulun.
  2. İki kuvvet elemanlarını belirleyin: yalnızca iki pimden yüklenen elemanlarda kuvvet, pimler arasındaki doğru boyunca etkir.
  3. Çerçeveyi parçalarına ayırın ve her elemanı tek başına çizin; elemanların birleştiği yerlerde pim kuvvetleri eşit ve zıt yönlü olsun.
  4. Her eleman için bilinmeyen kuvvetlerin etkidiği bir pime göre moment alın, sonra ΣFx = 0 ve ΣFy = 0 denklemlerini kullanın; bileşenleri en sonda bir büyüklükte birleştirin.

Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Kesme ve moment
V = bir taraftaki ΣF, M = bir taraftaki ΣF·d
Eğilme gerilmesi
σ = M·y/I
Dikdörtgen
I = bh³/12
Kesit modülü
W = I/ymax
Basit mesnetli, düzgün yük
Mmax = wL²/8

Yöntem

  1. Mesnet tepkilerini tüm kirişin dengesinden bulun.
  2. Kirişi gereken kesitten kesin ve bir tarafı tutun.
  3. Kesme kuvveti: o taraftaki düşey kuvvetlerin toplamı. Eğilme momenti: bunların kesite göre momentlerinin toplamı.
  4. En büyük moment için kesme kuvvetinin sıfır olduğu yeri bulun.

Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Ağırlık merkezi
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Dikdörtgen
I = bh³/12
Paralel eksen teoremi
I = Ic + A·d²
Bileşik kesit
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

2Alıştırma soruları

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımOrta
xyzab

a = (−6, 3, 4) ve b = (−5, 0, k) vektörlerinin dik olduğu k değerini bulun.

a = (−6, 3, 4)b = (−5, 0, k)
k =
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpımZor
xyzab

a = (−1, 5, −4) ve b = (1, −2, 0) için a × b vektörel çarpımının z bileşenini (a × b)z bulun.

a = (−1, 5, −4)b = (1, −2, 0)
(a × b)z =
3.Kiriş mesnet tepkileriOrta
P1​ = 50 kNP2​ = 25 kNABRA​ = ?RB​1 m3 m1 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RA değerini bulun.

L = 5 mP1 = 50 kN @ 1 mP2 = 25 kN @ 4 m
RA = kN
4.Kiriş mesnet tepkileriZor
w = 3 kN/mP = 55 kNABRA​RB​ = ?2 m4 m2 m

Basit mesnetli kirişin A’da sabit mafsalı, B’de kayıcı mesnedi var. Düşey mesnet tepkisi RB değerini bulun.

L = 8 mP = 55 kN @ 6 mw = 3 kN/m, 2 ile 8 m arasında
RB = kN
5.Kafes: düğüm yöntemiOrta
ABBCACACB15 kN8 m7 m2 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 8 myükseklik = 2 mB, A’dan 7 m uzaktadüşey yük = 15 kN
FAB = kN
6.Kafes: düğüm yöntemiZor
ABBCACACB20 kN15 kN4 m3 m4 m

AB çubuğundaki FAB kuvvetini düğüm yöntemiyle bulun. Çekmeyi pozitif, basıncı negatif verin.

açıklık = 4 myükseklik = 4 mB, A’dan 3 m uzaktadüşey yük = 20 kNyatay yük = 15 kN ←
FAB = kN
7.Çerçeveler ve makinelerOrta
12 kN8 m2 m2,4 mABCK

Gösterilen çerçevenin A, B ve C’de pimleri var; A ve C birbirinden 8 m uzaktaki noktalarda zemine sabitlenmiştir, B ise zeminden 2 m yukarıda ve A’nın 2,4 m sağındadır. AB elemanına, A’dan (yatayda) 0,6 m uzaktaki K noktasında 12 kN’luk düşey bir yük etkiyor. BC elemanındaki kuvveti FBC bulun.

P = 12 kNL = 8 mH = 2 mA’dan B’ye yatay uzaklık = 2,4 mA’dan K’ya yatay uzaklık = 0,6 m
FBC = kN
8.Çerçeveler ve makinelerZor
8 kN3,2 m1,8 m2,2 m0,96 mABCDEK

Gösterilen A çerçevesi, birbirinden 3,2 m uzaktaki A pimi ve B makarası üzerinde duruyor; tepe pimi C 4 m yüksekte, yatay DE bağı ise zeminden 1,8 m yukarıda. AC bacağına, A’dan (yatayda) 0,96 m uzaktaki K noktasında 8 kN’luk düşey bir yük etkiyor. C pimi’nin BC bacağına uyguladığı kuvvetin büyüklüğünü C bulun.

P = 8 kNAB = 3,2 mC’nin yüksekliği = 4 mDE’nin yüksekliği = 1,8 mA’dan K’ya yatay uzaklık = 0,96 m
C = kN
9.Kesme kuvveti ve eğilme momentiOrta
5 kN/m60 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

60 kN @ 3 m5 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
10.Kesme kuvveti ve eğilme momentiZor
15 kN/m35 kN10 kN20 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

A’dan G’ye işaretler kirişi altı eşit parçaya böler. Eğilme momenti hangi işarette büyüklükçe en büyüktür, sehim yapan veya yapmayan? Diyagramda ona tıklayın.

35 kN @ 0 m10 kN @ 6 m20 kN @ 3 m15 kN/m, 1–5 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
11.Ağırlık merkezi ve atalet momentiOrta
120 mm300 mm120 mmØ40xIx​ = ?

120 mm × 300 mm boyutlarındaki bir levhada, düşey merkez çizgisi üzerinde, merkezi alttan 120 mm yukarıda olan 40 mm çaplı dairesel bir delik var. Ağırlık merkezinden geçen yatay eksene göre atalet momentini Ix bulun.

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mmdelik merkezi: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Ağırlık merkezi ve atalet momentiZor
1202030016xM = 10 kN·mboyutlar mm cinsinden

T kesit, başlığı üstte olacak şekilde kiriş olarak kullanılıyor ve 10 kN·m pozitif eğilme momenti taşıyor. Alt kenardaki eğilme gerilmesi σalt değerini bulun.

bf = 120 mmtf = 20 mmtw = 16 mmhw = 300 mmM = 10 kN·m
σalt = MPa

3Çözeltiler

1.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: k = −7,5

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Skaler çarpım sıfıra eşit

a·b = (−6)·(−5) + 3·0 + 4·k = 0
30 + 4·k = 0

k için çözün

k = −30/4 = −7,5

Cevap

k = −7,5
2.Vektörler: skaler ve vektörel çarpım

Cevap: (a × b)z = −3

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Vektörel çarpım, bileşen bileşen

(a × b)x = aybz − azby = 5·0 − (−4)·(−2) = −8
(a × b)y = azbx − axbz = (−4)·1 − (−1)·0 = −4
(a × b)z = axby − aybx = (−1)·(−2) − 5·1 = −3

İstenen bileşen

(a × b)z = −3

Cevap

(a × b)z = −3

Kontrol: a × b her iki vektöre de diktir, bu yüzden a ve b ile skaler çarpımı sıfırdır.

3.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RA = 45 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

P1​ = 50 kNP2​ = 25 kNABRA​RB​1 m3 m1 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

ΣMA = 0: RB·5 = 50·1 + 25·4
RB = 150/5 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 30 = 45 kN

Cevap

RA = 45 kN
4.Kiriş mesnet tepkileri

Cevap: RB = 52,5 kN

Statik denge: durgun bir cisim için herhangi bir noktaya göre ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0. Bir mesnede göre moment almak o mesnedin tepkisini denklemden çıkarır.

w = 3 kN/mP = 55 kNABRA​RB​2 m4 m2 m

Serbest cisim diyagramı

Mesnetleri tepki kuvvetleriyle değiştirin. Kayıcı mesnet bir düşey tepki verir; yalnızca düşey yükler varsa sabit mafsal da bir düşey tepki verir.

Denge

A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif. Ardından düşey kuvvet dengesi.

Yayılı yük bileşkesi: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, x̄ = 5 m noktasında etkir
ΣMA = 0: RB·8 = 55·6 + 3·6·5
RB = 420/8 = 52,5 kN
ΣFy = 0: RA = 73 − 52,5 = 20,5 kN

Cevap

RB = 52,5 kN
5.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = −6,825 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·7 → Cy = 13,13 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 13,13 = 1,875 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 2/7,28 = 0,2747
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −1,875/0,2747 = −6,825 kN

Cevap

FAB = −6,825 kN (basınç)
6.Kafes: düğüm yöntemi

Cevap: FAB = −25 kN

Düğüm yöntemi: bir kafesin her düğümü dengededir; bu yüzden her düğümde ΣFx = 0 ve ΣFy = 0. En fazla iki bilinmeyen çubuk kuvveti olan bir düğümden başlayın. Negatif sonuç çubuğun basınçta olduğunu gösterir.

ABBCACACB20 kN15 kNAy​Cy​Ax​

Mesnet tepkileri

Tüm kafesin dengesi. A’ya göre momentler, saat yönünün tersi pozitif.

ΣMA = 0: Cy·4 = 20·3 − 15·4 → Cy = 0 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 0 = 20 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

A düğümü

Her çubuğun çekmede olduğunu (düğümden dışarı çektiğini) varsayın. A’da yalnızca AB’nin düşey bileşeni var.

sin α = 4/5 = 0,8
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −20/0,8 = −25 kN

Cevap

FAB = −25 kN (basınç)
7.Çerçeveler ve makineler

Cevap: FBC = 2,676 kN

Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.

İki kuvvet elemanı BC

BC = √(5,6² + 2²) = 5,946 m

Tüm çerçeve: A’ya göre momentler

Zemin, C’de BC’ye CB boyunca iter; yatay bileşeni A’dan geçer, yalnızca düşey bileşenin momenti vardır.

FBC·(2/5,946)·8 = 12·0,6
FBC = 2,676 kN (basınç)

Cevap

FBC = 2,676 kN
8.Çerçeveler ve makineler

Cevap: C = 2,968 kN

Çerçeveler ve makineler: kafesten farklı olarak bir çerçeve, en az bir elemanında ikiden fazla noktada kuvvet taşır veya pimleri arasında bir yük bulunur. Önce iki kuvvet elemanlarını arayın: yalnızca iki pimden yüklenen bir elemanın kuvveti bu pimlerden geçen doğru boyuncadır, bu yüzden iki değil, bir bilinmeyen ekler. Sonra bilinmeyen sayısı üçü geçmiyorsa mesnet tepkileri için tüm yapıyı kullanın. Son olarak çerçeveyi parçalarına ayırın: her elemanı ayrı çizin, pim kuvvetleri birleştirdikleri iki elemanda eşit ve zıt yönlü olsun ve onun için ΣFx = 0, ΣFy = 0 ve ΣM = 0 yazın. Bir pime göre moment almak, o pim kuvvetinin iki bileşenini de denklemden çıkarır.

B’deki mesnet tepkisi

By = 8·0,96/3,2 = 2,4 kN

Bağ kuvveti

T = 2,4·1,6/2,2 = 1,745 kN

BC üzerindeki pim kuvveti

Cx = 1,745 kN, Cy = −2,4 kN
C = √(1,745² + 2,4²) = 2,968 kN

Cevap

C = 2,968 kN
9.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: D (x = 3 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 45 kN, R2 = 45 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = 42,5, MC = 80, MD = 112,5 kN·m, ME = 80, MF = 42,5, MG = 0

Cevap

İşaret D: MD = 112,5 kN·m
10.Kesme kuvveti ve eğilme momenti

Cevap: B (x = 1 m)

En büyük eğilme momenti: M, kesme kuvvetinin değiştiği her yerde eğim değiştirir, yani tepeleri kesme kuvvetinin sıfırdan geçtiği yerlerdedir: tekil bir yükün altında, yayılı bir yükün içinde veya bir konsolun mesnedi üzerinde. Konsol kirişin ankastre mesnedinde moment duvarda en büyüktür. M’nin büyüklüğünü o yerlerde, sehim yapan veya yapmayan, karşılaştırın.

Mesnet tepkileri

Bir mesnete göre moment alın, sonra düşey kuvvet dengesini kullanın.

R1 = 81,25 kN, R2 = 43,75 kN

Her işaretteki eğilme momenti

Kesimin bir yanındaki tüm kuvvetlerin momentlerini toplayın. Sehim yapan pozitif, tersi negatiftir.

MA = 0, MB = −35 kN·m, MC = 3,75, MD = 27,5, ME = 16,25, MF = −10, MG = 0

Cevap

İşaret B: MB = −35 kN·m
11.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: Ix = 268,7 × 10⁶ mm⁴

Delikli kesitler: bir deliği negatif alan sayın. Ağırlık merkezi ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)’dir; A₁, y₁ tam levha için, A₂, y₂ delik içindir. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti için her parçaya paralel eksen teoremini uygulayın ve deliği çıkarın: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²); burada d, her parçanın kendi ağırlık merkezinden ȳ’den geçen eksene olan uzaklıktır. Bir dikdörtgenin Ic = bh³/12, bir dairenin Ic = πd⁴/64’tür.

Ağırlık merkezi

ȳ = (36000·150 − 1257·120)/(36000 − 1257) = 151,1 mm

Tam levha, ȳ’ye göre

120·300³/12 + 36000·−1,085² = 270 × 10⁶ mm⁴

Delik, ȳ’ye göre

π·40⁴/64 + 1257·−31,09² = 1,34 × 10⁶ mm⁴

Çıkarın

Ix = 268,7 × 10⁶ mm⁴

Cevap

Ix = 268,7 × 10⁶ mm⁴
12.Ağırlık merkezi ve atalet momenti

Cevap: σalt = 26,39 MPa

Bileşik alanlar: kesiti dikdörtgenlere ayırın. Ağırlık merkezi alanlarla ağırlıklı ortalamadır: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Ağırlık merkezi eksenine göre atalet momenti, her parçanın kendi bh³/12 değerini ve paralel eksen terimi A·d²’yi toplar; d, parçanın ağırlık merkezinin genel ağırlık merkezine uzaklığıdır. Eğilme gerilmesi σ = M·y/I’dır.

İki dikdörtgene ayırın

Her y’yi alt kenardan ölçün.

başlık: Af = 120·20 = 2400 mm², yf = 300 + 20/2 = 310 mm
gövde: Aw = 16·300 = 4800 mm², yw = 300/2 = 150 mm

Ağırlık merkezi

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2400·310 + 4800·150)/7200 = 203,3 mm

Paralel eksen teoremi

başlık: 120·20³/12 + 2400·(310 − 203,3)² = 2,739 × 10⁷ mm⁴
gövde: 16·300³/12 + 4800·(150 − 203,3)² = 4,965 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,739 × 10⁷ + 4,965 × 10⁷ = 7,704 × 10⁷ mm⁴

Eğilme gerilmesi

Alt kenar eksenden ȳ uzaklıktadır.

y = 203,3 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·203,3/7,704 × 10⁷ = 26,39 MPa

Cevap

σalt = 26,39 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics