İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 47, 21, 26, 59, 16, 27, 58.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 108'ün üstündedir?

μ = 100σ = 20x = 108

P =

3.OlasılıkOrta

Hilesiz bir zar 8 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 8

P =

4.OlasılıkZor

Bir testte 9 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,6 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 2 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 9p = 0,6k = 2

P =

5.Normal dağılımOrta

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 57 ile 80 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 65σ = 10x₁ = 57x₂ = 80

P =

6.Normal dağılımZor

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %20 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 100 puanσ = 15 puan20%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

7 birimlik bir örneklemin ortalaması 88 ve standart sapması s = 19. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 7x̄ = 88s = 1995%t(6) = 2,447

E =

8.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 11 milin çaplarının örneklem standart sapması 2,3 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının üst sınır σ değerini bulun. df = 10 ile χ² dağılımının %2,5’i 3,247 değerinin altında, %2,5’i 20,483 değerinin üstündedir.

n = 11s = 2,3 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 500 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 15 olduğu biliniyor. 100 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 501,35. H₀: μ = 500’a karşı H₁: μ > 500 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 500σ = 15n = 100x̄ = 501,35H₁: μ > μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

100 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 103. Anakütle standart sapması 20. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 103σ = 20n = 10099%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 36Σy = 247Σx² = 286Σy² = 10865Σxy = 1699

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 9 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 9

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 17,98

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 254/7 = 36,29

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 10,71² + (−15,29)² + (−10,29)² + 22,71² + (−20,29)² + (−9,286)² + 21,71² = 1939

Standart sapma

s = √(1939/6) = 17,98

Cevap

s = 17,98

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,3446

Standartlaştırın

z = 0,4

Standart normal tablo

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Cevap

P = 0,3446

3.Olasılık

Cevap: P = 0,7674

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)⁸ = 0,2326

P = 1 − 0,2326 = 0,7674

Cevap

P = 0,7674

4.Olasılık

Cevap: P = 0,02123

Binom formülü

P(X = 2) = 36·0,6²·0,4⁷ = 36·0,36·0,001638 = 0,02123

Cevap

P = 0,02123

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,7213

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (57 − 65)/10 = −0,8

z₂ = (80 − 65)/10 = 1,5

Aradaki alan

P = Φ(1,5) − Φ(−0,8) = 0,9332 − 0,2119 = 0,7213

Cevap

P = 0,7213

6.Normal dağılım

Cevap: x = 112,6 puan

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,8

Tablodan z

z ≈ 0,84

Özgün birimlere geri dönüş

x = 100 + 0,84·15 = 112,6 puan

Cevap

x = 112,6 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 17,57

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Hata payı

E = 2,447·19/√7 = 17,57

Cevap

E = 17,57

8.Güven aralıkları

Cevap: σ = 4,036 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 10·2,3² = 52,9

σ² için sınırlar

52,9/20,483 = 2,583

52,9/3,247 = 16,29

σ için sınır

σ = √16,29 = 4,036 µm

Cevap

σ = 4,036 µm

σ için %95 aralık: [1,607, 4,036] µm.

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,1841

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 15/√100 = 1,5

z = (501,35 − 500)/1,5 = 0,9

Kuyruk alanı

Φ(0,9) = 0,8159

1 − Φ(0,9) = 0,1841

p-değeri

p = 0,1841

Cevap

p = 0,1841

p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 108,2

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 2,576·20/√100 = 5,152

Aralık sınırı

U = 103 + 5,152 = 108,2

Cevap

U = 108,2

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9825

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 1699 − 36·247/6 = 217

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 10865 − 247²/6 = 696,8

Korelasyon katsayısı

r = 217/√(70·696,8) = 0,9825

Cevap

r = 0,9825

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 36,05

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 121/5 = 24,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 158

Regresyon doğrusu

b = 158/40 = 3,95

a = 24,2 − 3,95·6 = 0,5

ŷ = 0,5 + 3,95·x

Tahmin

ŷ = 0,5 + 3,95·9 = 36,05

Cevap

ŷ = 36,05

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1