İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 27, 47, 60, 27, 16.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 63,2'ün altındadır?

μ = 60σ = 8x = 63,2

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,15, 0,25, 0,3

Var(X) =

4.OlasılıkZor

5 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,6 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 5p = 0,6

P =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 120 mm, standart sapması 0,3 mm olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 80 mm, standart sapması 0,4 mm olan normaldir. X + Y’nin 199,3 mm değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,3 mm

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %90 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 65 puanσ = 10 puan90%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

100 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 8,6. 900 gözleme dayanan %99 aralığın hata payı E₂ nedir?

95%n₁ = 100E₁ = 8,699%n₂ = 900

E₂ =

8.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 10 milin çaplarının örneklem standart sapması 8,3 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının üst sınır σ değerini bulun. df = 9 ile χ² dağılımının %2,5’i 2,7 değerinin altında, %2,5’i 19,023 değerinin üstündedir.

n = 10s = 8,3 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 10 öğrenci, ortalama puan 70, standart sapma 2,5. Grup 2: 21 öğrenci, ortalama puan 66,7, standart sapma 4. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 10x̄₁ = 70s₁ = 2,5n₂ = 21x̄₂ = 66,7s₂ = 4

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 2,5 birimlik bir kaymayı %95 güçle saptamalıdır. Standart sapma 13. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 95%δ = 2,5σ = 13z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 1,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 1,5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 17,73

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 177/5 = 35,4

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−8,4)² + 11,6² + 24,6² + (−8,4)² + (−19,4)² = 1257

Standart sapma

s = √(1257/4) = 17,73

Cevap

s = 17,73

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,6554

Standartlaştırın

z = 0,4

Standart normal tablo

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Cevap

P = 0,6554

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,447

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,25 + 4·0,3 = 2,55

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,25 + 16·0,3 = 7,95

Varyans

Var(X) = 7,95 − 2,55² = 1,447

Cevap

Var(X) = 1,447

4.Olasılık

Cevap: P = 0,08704

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,4⁵ = 0,01024

P(X = 1) = 5·0,6·0,4⁴ = 0,0768

Toplayın

P = 0,01024 + 0,0768 = 0,08704

Cevap

P = 0,08704

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9192

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartlaştırın

z = (199,3 − 200)/0,5 = −1,4

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(−1,4) = 1 − 0,08076 = 0,9192

Cevap

P = 0,9192

6.Normal dağılım

Cevap: x = 52,2 puan

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,1

Tablodan z

z ≈ −1,28

Özgün birimlere geri dönüş

x = 65 − 1,28·10 = 52,2 puan

Cevap

x = 52,2 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: E₂ = 3,768

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Hata paylarının oranı

E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(100/900) = 0,4381

Yeni hata payı

E₂ = 8,6·0,4381 = 3,768

Cevap

E₂ = 3,768

8.Güven aralıkları

Cevap: σ = 15,15 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 9·8,3² = 620

σ² için sınırlar

620/19,023 = 32,59

620/2,7 = 229,6

σ için sınır

σ = √229,6 = 15,15 µm

Cevap

σ = 15,15 µm

σ için %95 aralık: [5,709, 15,15] µm.

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,385

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (9·2,5² + 20·4²)/29 = 12,97

s_p = 3,602

Standart hata

SE = 3,602·√(1/10 + 1/21) = 1,384

Test istatistiği

t = (70 − 66,7)/1,384 = 2,385

Cevap

t = 2,385

df = 29 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,045; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 293

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 1,645)·13/2,5)² = 292,7

Yukarı yuvarlayın

n = 293

Cevap

n = 293

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9927

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 104/5 = 20,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 146

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 540,8

Korelasyon katsayısı

r = 146/√(40·540,8) = 0,9927

Cevap

r = 0,9927

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 23,89

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 120/6 = 20

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34

Regresyon doğrusu

b = −34/17,5 = −1,943

a = 20 − (−1,943)·3,5 = 26,8

ŷ = 26,8 − 1,943·x

Tahmin

ŷ = 26,8 + (−1,943)·1,5 = 23,89

Cevap

ŷ = 23,89

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1