İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 36, 48, 16, 47, 16.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 500 ve standart sapması 75 olan normal dağılımlıdır. 387,5 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 500σ = 75x = 387,5

z =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 6 kırmızı ve 9 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

6 / 9

P =

4.OlasılıkZor

Bir testte 8 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,1 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 2 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 8p = 0,1k = 2

P =

5.Normal dağılımOrta

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 53 ile 70 puan arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 65σ = 10x₁ = 53x₂ = 70

P =

6.Normal dağılımZor

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %75 olan x değerini bulun (75. yüzdelik).

μ = 32σ = 6P = 75%

x = min

7.Güven aralıklarıOrta

10 birimlik bir örneklemin ortalaması 83 ve standart sapması s = 9. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 10x̄ = 83s = 990%t(9) = 1,833

üst sınır =

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 10 parsel, ortalama verim 97 kg, standart sapma 6 kg. Parsel grubu 2: 7 parsel, ortalama 87,5 kg, standart sapma 4,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n₁ = 10x̄₁ = 97s₁ = 6n₂ = 7x̄₂ = 87,5s₂ = 4,599%t(15) = 2,947

E = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

81 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 497,6, örneklem standart sapması 12. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 497,6s = 12n = 81

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ < 100 için tek yönlü bir z testi, 64 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 20 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 93.5’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 100μ = 93,5σ = 20n = 64α = 0,01

1 − β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (17, 38) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(17, 38)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,87

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 163/5 = 32,6

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 3,4² + 15,4² + (−16,6)² + 14,4² + (−16,6)² = 1007

Standart sapma

s = √(1007/4) = 15,87

Cevap

s = 15,87

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1,5

Standartlaştırın

z = (387,5 − 500)/75 = −1,5

Cevap

z = −1,5

3.Olasılık

Cevap: P = 0,1429

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0,1429

Cevap

P = 0,1429

4.Olasılık

Cevap: P = 0,1488

Binom formülü

P(X = 2) = 28·0,1²·0,9⁶ = 28·0,01·0,5314 = 0,1488

Cevap

P = 0,1488

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,5764

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (53 − 65)/10 = −1,2

z₂ = (70 − 65)/10 = 0,5

Aradaki alan

P = Φ(0,5) − Φ(−1,2) = 0,6915 − 0,1151 = 0,5764

Cevap

P = 0,5764

6.Normal dağılım

Cevap: x = 36,05 min

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

x’e geri dönüş

x = 32 + 0,6745·6 = 36,05 min

Cevap

x = 36,05 min

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 88,22

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 9, t = 1,833

Hata payı

E = 1,833·9/√10 = 5,217

Aralık

83 ± 5,217 → [77,78, 88,22]

Cevap

üst sınır = 88,22

8.Güven aralıkları

Cevap: E = 7,915 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (9·6² + 6·4,5²)/15 = 29,7

s_p = 5,45

Hata payı

E = 2,947·5,45·√(1/10 + 1/7) = 7,915

Cevap

E = 7,915 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −1,8

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

Test istatistiği

t = (497,6 − 500)/1,333 = −1,8

Cevap

t = −1,8

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 60,8 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 20/√64 = 2,5

x̄_c = 100 − 2,326·2,5 = 94,19

Gerçek ortalama altında z

z = (94,19 − 93,5)/2,5 = 0,274

Güç

güç = P(Z < 0.274) = 60.8%

1 − β = 60,8%

Cevap

1 − β = 60,8%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9657

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 299/5 = 59,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 180

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 838,8

Belirlilik katsayısı

r² = 180²/(40·838,8) = 0,9657

Cevap

r² = 0,9657

y’deki değişimin yaklaşık %96,57’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −3,367

Ortalamalar

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 283/6 = 47,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 203

Regresyon doğrusu

b = 203/70 = 2,9

a = 47,17 − 2,9·19 = −7,933

ŷ = −7,933 + 2,9·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −7,933 + 2,9·17 = 41,37

Artık

e = 38 − 41,37 = −3,367

Cevap

e = −3,367

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1