İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama
x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan
sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı
z = (x − μ)/σ
Normal dağılım
68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen
P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normal dağılım

z puanı
z = (x − μ)/σ
x’in altında
P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında
Φ(z2) − Φ(z1)
Yüzdelik
x = μ + z·σ

Yöntem

  1. Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
  3. Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
  4. Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor
x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü
n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

  1. z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
  2. Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
  3. Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
  4. Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ortalama için t testi
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü
|z| > 1,96 ise H0’ı reddet
Güven aralığı
x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

  1. H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
  2. Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
  3. Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
  4. İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim
b = Sxy/Sxx
Kesişim noktası
a = ȳ − b·x̄
Korelasyon
r = Sxy/√(SxxSyy)
Artık
e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta
3540455055

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 39, 40, 46, 31, 59.

n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
z −2−1012

Bir büyüklük ortalaması 500 ve standart sapması 25 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 525'ün üstündedir?

μ = 500σ = 25x = 525
P =
3.OlasılıkOrta
kırmızı: 8mavi: 9

Bir torbada 8 kırmızı ve 9 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

8 / 9
P =
4.OlasılıkZor
xp(x)00,3510,3520,3μ

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = −2X + 1. Y’nin standart sapmasını σY bulun.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = −2X + 1
σY =
5.Normal dağılımOrta
454522P = ?

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 454 ile 522 h arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 500σ = 40x1 = 454x2 = 522
P =
6.Normal dağılımZor
μ = 250x = ?99%

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %99 olan x değerini bulun (99. yüzdelik).

μ = 250σ = 5P = 99%
x = g
7.Güven aralıklarıOrta
n = 21, s = 8,5LUx̄ = 21,5E = ?95%

21 birimlik bir örneklemin ortalaması 21,5 ve standart sapması s = 8,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 21x̄ = 21,5s = 8,595%t(20) = 2,086
E =
8.Güven aralıklarıZor
σ = 26, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,590%

Anakütle standart sapması 26. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 1,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 26E = 1,590%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
t −1,9901,99

81 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 505,3, örneklem standart sapması 20. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 505,3s = 20n = 81
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
z −1,64501,645

64 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 75,8. Anakütle standart sapması 10. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 75,8σ = 10n = 6490%
L =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
xy17501944215523622565xy20255060

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 105Σy = 276Σx² = 2245Σy² = 15530Σxy = 5892
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
xy2248698121016xy51051015x = 7

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (7, 16) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(7, 16)
e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 10,42

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 215/5 = 43

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−4)² + (−3)² + 3² + (−12)² + 16² = 434

Standart sapma

s = √(434/4) = 10,42

Cevap

s = 10,42
2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,1587

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Standartlaştırın

z = 1

Standart normal tablo

Φ(1) = 0,8413
P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Cevap

P = 0,1587
3.Olasılık

Cevap: P = 0,2059

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 8/17 · 7/16 = 56/272 = 0,2059

Cevap

P = 0,2059
4.Olasılık

Cevap: σY = 1,609

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047

Doğrusal değişim

σY = |−2|·0,8047 = 1,609

Cevap

σY = 1,609

Ortalama ise kayar: E(Y) = −2·0,95 + 1 = −0,9.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,5838

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (454 − 500)/40 = −1,15
z₂ = (522 − 500)/40 = 0,55

Aradaki alan

P = Φ(0,55) − Φ(−1,15) = 0,7088 − 0,1251 = 0,5838

Cevap

P = 0,5838
6.Normal dağılım

Cevap: x = 261,6 g

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

x’e geri dönüş

x = 250 + 2,326·5 = 261,63 g

Cevap

x = 261,63 g
7.Güven aralıkları

Cevap: E = 3,869

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 20, t = 2,086

Hata payı

E = 2,086·8,5/√21 = 3,869

Cevap

E = 3,869
8.Güven aralıkları

Cevap: n = 814

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,645·26/1,5)² = 813

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 814

Cevap

n = 814
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,385

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Test istatistiği

t = (505,3 − 500)/2,222 = 2,385

Cevap

t = 2,385
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| > 1,99, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 73,74

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,645·10/√64 = 2,056

Aralık sınırı

L = 75,8 − 2,056 = 73,74

Cevap

L = 73,74
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,8841

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

Sxy = 5892 − 105·276/5 = 96
Sxx = 2245 − 105²/5 = 40
Syy = 15530 − 276²/5 = 294,8

Korelasyon katsayısı

r = 96/√(40·294,8) = 0,8841

Cevap

r = 0,8841
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 5

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 47/5 = 9,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

Regresyon doğrusu

b = 64/40 = 1,6
a = 9,4 − 1,6·6 = −0,2
ŷ = −0,2 + 1,6·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −0,2 + 1,6·7 = 11

Artık

e = 16 − 11 = 5

Cevap

e = 5

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1