İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama
x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan
sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı
z = (x − μ)/σ
Normal dağılım
68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen
P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normal dağılım

z puanı
z = (x − μ)/σ
x’in altında
P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında
Φ(z2) − Φ(z1)
Yüzdelik
x = μ + z·σ

Yöntem

  1. Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
  3. Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
  4. Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor
x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü
n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

  1. z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
  2. Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
  3. Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
  4. Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ortalama için t testi
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü
|z| > 1,96 ise H0’ı reddet
Güven aralığı
x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

  1. H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
  2. Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
  3. Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
  4. İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim
b = Sxy/Sxx
Kesişim noktası
a = ȳ − b·x̄
Korelasyon
r = Sxy/√(SxxSyy)
Artık
e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta
2025303540455055

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 57, 21, 48, 37, 18, 18.

n = 6
s =
2.Betimsel istatistikZor
z −2−1012

Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. 110 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 100σ = 8x = 110
z =
3.OlasılıkOrta
P(en az bir altı) = ??1?2?3?4Her atışta P(altı) = 1/6

Hilesiz bir zar 4 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 4
P =
4.OlasılıkZor
n = 7, p = 0,4: P(X ≤ 1) = ?k01234567

7 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,4 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 7p = 0,4
P =
5.Normal dağılımOrta
−3−2−10123z−z ile z arasındaki gölgeli alan = 0,4971

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,4971 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,4971
z =
6.Normal dağılımZor
0,05 mm0D − d?

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,05 mm, standart sapması 0,015 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,02 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,05 mm, σ = 0,015 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
n = 25, s = 17LU = ?x̄ = 65,5E90%

25 birimlik bir örneklemin ortalaması 65,5 ve standart sapması s = 17. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 25x̄ = 65,5s = 1790%t(24) = 1,711
üst sınır =
8.Güven aralıklarıZor
σ = 17, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 395%

Anakütle standart sapması 17. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 17E = 395%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
−1,961,96z = ?

İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 40 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 113,5 mm ve hattın bilinen standart sapması 15 mm. Hat 2: 100 parçalık bir örneklemin ortalaması 110,2 mm, bilinen standart sapması 3 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.

n₁ = 40x̄₁ = 113,5 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 100x̄₂ = 110,2 mmσ₂ = 3 mm
z =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
μ₀x̄c

H₀: μ = 50’a karşı H₁: μ > 50 için tek yönlü bir z testi, 36 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,05 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 6 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 52,6’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 50μ = 52,6σ = 6n = 36α = 0,05
1 − β = %
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
xy126223322422518616xy2462025

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 21Σy = 127Σx² = 91Σy² = 2753Σxy = 412
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
xy124222318417515616xy246152025x = 2,5

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (2,5, 23) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(2,5, 23)
e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,8

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 199/6 = 33,17

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 23,83² + (−12,17)² + 14,83² + 3,833² + (−15,17)² + (−15,17)² = 1411

Standart sapma

s = √(1411/5) = 16,8

Cevap

s = 16,8
2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 1,25

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Standartlaştırın

z = (110 − 100)/8 = 1,25

Cevap

z = 1,25
3.Olasılık

Cevap: P = 0,5177

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)4 = 0,4823
P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Cevap

P = 0,5177
4.Olasılık

Cevap: P = 0,1586

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,67 = 0,02799
P(X = 1) = 7·0,4·0,66 = 0,1306

Toplayın

P = 0,02799 + 0,1306 = 0,1586

Cevap

P = 0,1586
5.Normal dağılım

Cevap: z = 0,67

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,4971)/2 = 0,7486

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,7486 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 0,67

Cevap

z = 0,67
6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9772

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,05)/0,025 = −2

Olasılık

P = 1 − Φ(−2) = 0,9772

Cevap

P = 0,9772
7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 71,32

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 24, t = 1,711

Hata payı

E = 1,711·17/√25 = 5,817

Aralık

65,5 ± 5,817 → [59,68, 71,32]

Cevap

üst sınır = 71,32
8.Güven aralıkları

Cevap: n = 124

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,96·17/3)² = 123,4

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 124

Cevap

n = 124
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = 1,38

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Farkın standart hatası

SE = √(15²/40 + 3²/100) = √5,715 = 2,391

Test istatistiği

z = (113,5 − 110,2)/2,391 = 1,38

Cevap

z = 1,38

|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 83,02 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 6/√36 = 1
x̄c = 50 + 1,645·1 = 51,65

Gerçek ortalama altında z

z = (51,65 − 52,6)/1 = −0,955

Güç

güç = P(Z > −0,955) = 83,02%
1 − β = 83,02%

Cevap

1 − β = 83,02%
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = −0,9649

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

Sxy = 412 − 21·127/6 = −32,5
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2753 − 127²/6 = 64,83

Korelasyon katsayısı

r = −32,5/√(17,5·64,83) = −0,9649

Cevap

r = −0,9649
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 2,562

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 112/6 = 18,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

Regresyon doğrusu

b = −31/17,5 = −1,771
a = 18,67 − (−1,771)·3,5 = 24,87
ŷ = 24,87 − 1,771·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 24,87 + (−1,771)·2,5 = 20,44

Artık

e = 23 − 20,44 = 2,562

Cevap

e = 2,562

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1