İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 52, 21, 10, 19, 25.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. 94 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 100σ = 12x = 94

z =

3.OlasılıkOrta

Hilesiz bir zar 7 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 7

P =

4.OlasılıkZor

Bir testte 12 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,2 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 2 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 12p = 0,2k = 2

P =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 120 mm, standart sapması 0,3 mm olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 80 mm, standart sapması 0,4 mm olan normaldir. X + Y’nin 199,5 mm değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,5 mm

P =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %25 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 178 cmσ = 7 cm25%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

15 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması −0,8 ve standart sapması 6,7. Ortalama fark için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 15d̄ = −0,8s_d = 6,799%t(14) = 2,977

alt sınır = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 7 parsel, ortalama verim 91,5 kg, standart sapma 2 kg. Parsel grubu 2: 5 parsel, ortalama 80,5 kg, standart sapma 4,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n₁ = 7x̄₁ = 91,5s₁ = 2n₂ = 5x̄₂ = 80,5s₂ = 4,595%t(10) = 2,228

E = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 100 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 18 olduğu biliniyor. 144 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 98,65. H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ < 100 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 100σ = 18n = 144x̄ = 98,65H₁: μ < μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

100 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 96. Anakütle standart sapması 15. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 96σ = 15n = 10090%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 15Σy = 100Σx² = 55Σy² = 2064Σxy = 276

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 71 tahmin eder?

n = 5ŷ = 71

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,85

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 127/5 = 25,4

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 26,6² + (−4,4)² + (−15,4)² + (−6,4)² + (−0,4)² = 1005

Standart sapma

s = √(1005/4) = 15,85

Cevap

s = 15,85

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −0,5

Standartlaştırın

z = (94 − 100)/12 = −0,5

Cevap

z = −0,5

3.Olasılık

Cevap: P = 0,7209

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Cevap

P = 0,7209

4.Olasılık

Cevap: P = 0,2835

Binom formülü

P(X = 2) = 66·0,2²·0,8¹⁰ = 66·0,04·0,1074 = 0,2835

Cevap

P = 0,2835

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8413

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartlaştırın

z = (199,5 − 200)/0,5 = −1

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Cevap

P = 0,8413

6.Normal dağılım

Cevap: x = 182,7 cm

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,75

Tablodan z

z ≈ 0,67

Özgün birimlere geri dönüş

x = 178 + 0,67·7 = 182,7 cm

Cevap

x = 182,7 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = −5,95 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 14, t = 2,977

Hata payı

E = 2,977·6,7/√15 = 5,15

Aralık

−0,8 ± 5,15 → [−5,95, 4,35]

Cevap

alt sınır = −5,95 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: E = 4,227 kg

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (6·2² + 4·4,5²)/10 = 10,5

s_p = 3,24

Hata payı

E = 2,228·3,24·√(1/7 + 1/5) = 4,227

Cevap

E = 4,227 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,1841

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5

z = (98,65 − 100)/1,5 = −0,9

Kuyruk alanı

Φ(0,9) = 0,8159

1 − Φ(0,9) = 0,1841

p-değeri

p = 0,1841

Cevap

p = 0,1841

p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 93,53

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,645·15/√100 = 2,468

Aralık sınırı

L = 96 − 2,468 = 93,53

Cevap

L = 93,53

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = −0,9487

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 276 − 15·100/5 = −24

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 2064 − 100²/5 = 64

Korelasyon katsayısı

r = −24/√(10·64) = −0,9487

Cevap

r = −0,9487

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 6

Ortalamalar

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 338/5 = 67,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

Regresyon doğrusu

b = 136/40 = 3,4

a = 67,6 − 3,4·5 = 50,6

ŷ = 50,6 + 3,4·x

x için çözün

x = (71 − 50,6)/3,4 = 6

Cevap

x = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1