İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 32, 10, 28, 56, 45, 16, 17.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 100'ün altındadır?

μ = 70σ = 15x = 100

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,25, 0,15, 0,25

σ =

4.OlasılıkZor

12 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,25 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 12p = 0,25

P =

5.Normal dağılımOrta

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 178 ile 179,75 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 178σ = 7x₁ = 178x₂ = 179,75

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %95 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 65 puanσ = 10 puan95%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

13 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 2,6 ve standart sapması 3,6. Ortalama fark için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 13d̄ = 2,6s_d = 3,699%t(12) = 3,055

üst sınır = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 18. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 18E = 2,599%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 50 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 15 olduğu biliniyor. 36 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 47,25. H₀: μ = 50’a karşı H₁: μ ≠ 50 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 50σ = 15n = 36x̄ = 47,25H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir denemede A tedavisi alan 120 hastadan 60’i, B tedavisi alan 250 hastadan 140’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.

x₁ = 60n₁ = 120x₂ = 140n₂ = 250

z =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6Σx = 114Σy = 465Σx² = 2236Σy² = 37897Σxy = 9182

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (3, 2) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(3, 2)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,68

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 204/7 = 29,14

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 2,857² + (−19,14)² + (−1,143)² + 26,86² + 15,86² + (−13,14)² + (−12,14)² = 1669

Standart sapma

s = √(1669/6) = 16,68

Cevap

s = 16,68

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,9772

Standartlaştırın

z = 2

Standart normal tablo

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Cevap

P = 0,9772

3.Olasılık

Cevap: σ = 2,375

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,35 + 2·0,25 + 4·0,15 + 6·0,25 = 2,6

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,25 + 16·0,15 + 36·0,25 = 12,4

Varyans

Var(X) = 12,4 − 2,6² = 5,64

σ = √5,64 = 2,375

Cevap

σ = 2,375

4.Olasılık

Cevap: P = 0,1584

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,75¹² = 0,03168

P(X = 1) = 12·0,25·0,75¹¹ = 0,1267

Toplayın

P = 0,03168 + 0,1267 = 0,1584

Cevap

P = 0,1584

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,09871

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (178 − 178)/7 = 0

z₂ = (179,75 − 178)/7 = 0,25

Aradaki alan

P = Φ(0,25) − Φ(0) = 0,5987 − 0,5 = 0,09871

Cevap

P = 0,09871

6.Normal dağılım

Cevap: x = 81,4 puan

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,95

Tablodan z

z ≈ 1,64

Özgün birimlere geri dönüş

x = 65 + 1,64·10 = 81,4 puan

Cevap

x = 81,4 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 5,65 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 12, t = 3,055

Hata payı

E = 3,055·3,6/√13 = 3,05

Aralık

2,6 ± 3,05 → [−0,4503, 5,65]

Cevap

üst sınır = 5,65 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 344

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (2,576·18/2,5)² = 344

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 344

Cevap

n = 344

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,2713

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 15/√36 = 2,5

z = (47,25 − 50)/2,5 = −1,1

Kuyruk alanı

Φ(1,1) = 0,8643

1 − Φ(1,1) = 0,1357

p-değeri

p = 2·0,1357 = 0,2713

Cevap

p = 0,2713

p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = −1,084

Örneklem oranları

p̂₁ = 60/120 = 0,5

p̂₂ = 140/250 = 0,56

p̂ = 200/370 = 0,5405

H₀ altında standart hata

SE = √(0,5405·0,4595·(1/120 + 1/250)) = 0,05534

Test istatistiği

z = (0,5 − 0,56)/0,05534 = −1,084

Cevap

z = −1,084

|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9618

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 9182 − 114·465/6 = 347

S_xx = 2236 − 114²/6 = 70

S_yy = 37897 − 465²/6 = 1860

Korelasyon katsayısı

r = 347/√(70·1860) = 0,9618

Cevap

r = 0,9618

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −5,448

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 116/6 = 19,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 208

Regresyon doğrusu

b = 208/70 = 2,971

a = 19,33 − 2,971·7 = −1,467

ŷ = −1,467 + 2,971·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −1,467 + 2,971·3 = 7,448

Artık

e = 2 − 7,448 = −5,448

Cevap

e = −5,448

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1