İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 35, 53, 46, 26, 18.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. 103 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 100σ = 5x = 103

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,1, 0,35, 0,3, 0,25

Var(X) =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 5X + 5. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,35, 0,15, 0,35Y = 5X + 5

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,2483 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,2483

z =

6.Normal dağılımZor

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %25 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 250 gσ = 5 g25%

x = g

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 40 telefon, ortalama 55,5 h, bilinen standart sapma 17 h. Model 2: 30 telefon, ortalama 69,5 h, bilinen standart sapma 6 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 40x̄₁ = 55,5 hσ₁ = 17 hn₂ = 30x̄₂ = 69,5 hσ₂ = 6 h90%

alt sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 32. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 2 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 32E = 290%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

36 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 123,2, örneklem standart sapması 8. H₀: μ = 120 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 120x̄ = 123,2s = 8n = 36

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 0,5 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 20. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 20E = 0,599%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 5 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 14,26

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 178/5 = 35,6

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−0,6)² + 17,4² + 10,4² + (−9,6)² + (−17,6)² = 813,2

Standart sapma

s = √(813,2/4) = 14,26

Cevap

s = 14,26

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 0,6

Standartlaştırın

z = (103 − 100)/5 = 0,6

Cevap

z = 0,6

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 91

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 10·0,1 + 20·0,35 + 30·0,3 + 40·0,25 = 27

Karelerin ortalaması

E(X²) = 100·0,1 + 400·0,35 + 900·0,3 + 1600·0,25 = 820

Varyans

Var(X) = 820 − 27² = 91

Cevap

Var(X) = 91

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 55

X’in yayılımı

μ = 27, Var(X) = 121, σ_X = 11

Doğrusal değişim

σ_Y = |5|·11 = 55

Cevap

σ_Y = 55

Ortalama ise kayar: E(Y) = 5·27 + 5 = 140.

5.Normal dağılım

Cevap: z = 0,68

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,2483 = 0,7517

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,7517 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 0,68

Cevap

z = 0,68

6.Normal dağılım

Cevap: x = 246,7 g

Soldaki alan

Φ(z) = 0,25

Tablodan z

z ≈ −0,67

Özgün birimlere geri dönüş

x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g

Cevap

x = 246,7 g

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = −18,77 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 55,5 − 69,5 = −14

Standart hata

SE = √(17²/40 + 6²/30) = 2,903

Hata payı

E = 1,645·2,903 = 4,775

Aralık

−14 ± 4,775 → [−18,77, −9,225]

Cevap

alt sınır = −18,77 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 693

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,645·32/2)² = 692,7

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 693

Cevap

n = 693

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,4

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

Test istatistiği

t = (123,2 − 120)/1,333 = 2,4

Cevap

t = 2,4

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 10618

n'yi çözün

n = (2,576·20/0,5)² = 10617

Yukarı yuvarlayın

n = 10618

Cevap

n = 10618

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9765

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 79/6 = 13,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 99

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 146,8

Korelasyon katsayısı

r = 99/√(70·146,8) = 0,9765

Cevap

r = 0,9765

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 34,6

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 191/5 = 38,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144

Regresyon doğrusu

b = 144/40 = 3,6

a = 38,2 − 3,6·6 = 16,6

ŷ = 16,6 + 3,6·x

Tahmin

ŷ = 16,6 + 3,6·5 = 34,6

Cevap

ŷ = 34,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1