İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 15, 42, 50, 57, 31.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. 106,3 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 100σ = 5x = 106,3

z =

3.OlasılıkOrta

6 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 6k = 3

N =

4.OlasılıkZor

Bir testte 12 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,1 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 1 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 12p = 0,1k = 1

P =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 120 mm, standart sapması 0,3 mm olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 80 mm, standart sapması 0,4 mm olan normaldir. X + Y’nin 199,8 mm değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,8 mm

P =

6.Normal dağılımZor

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %40 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 100 puanσ = 15 puan40%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

10 birimlik bir örneklemin ortalaması 86,5 ve standart sapması s = 19,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 10x̄ = 86,5s = 19,590%t(9) = 1,833

E =

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 8 parsel, ortalama verim 16 kg, standart sapma 8,5 kg. Parsel grubu 2: 6 parsel, ortalama 9,5 kg, standart sapma 1 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 8x̄₁ = 16s₁ = 8,5n₂ = 6x̄₂ = 9,5s₂ = 190%t(12) = 1,782

üst sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

20 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 7,38 ve farkların standart sapması 11. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 20d̄ = 7,38s_d = 11

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ > 80 için tek yönlü bir z testi, 64 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0,01 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 12 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 84,2’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 80μ = 84,2σ = 12n = 64α = 0,01

1 − β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 17 tahmin eder?

n = 6ŷ = 17

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 16,54

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 195/5 = 39

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−24)² + 3² + 11² + 18² + (−8)² = 1094

Standart sapma

s = √(1094/4) = 16,54

Cevap

s = 16,54

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 1,25

Standartlaştırın

z = (106,3 − 100)/5 = 1,25

Cevap

z = 1,25

3.Olasılık

Cevap: N = 20

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

Cevap

N = 20

4.Olasılık

Cevap: P = 0,3766

Binom formülü

P(X = 1) = 12·0,1¹·0,9¹¹ = 12·0,1·0,3138 = 0,3766

Cevap

P = 0,3766

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,6554

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartlaştırın

z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554

Cevap

P = 0,6554

6.Normal dağılım

Cevap: x = 103,8 puan

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,6

Tablodan z

z ≈ 0,25

Özgün birimlere geri dönüş

x = 100 + 0,25·15 = 103,8 puan

Cevap

x = 103,8 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 11,3

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 9, t = 1,833

Hata payı

E = 1,833·19,5/√10 = 11,3

Cevap

E = 11,3

8.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 12,78 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (7·8,5² + 5·1²)/12 = 42,56

s_p = 6,524

Hata payı

E = 1,782·6,524·√(1/8 + 1/6) = 6,279

Aralık

6,5 ± 6,279 → [0,2214, 12,78]

Cevap

üst sınır = 12,78 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 3

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 11/√20 = 2,46

Test istatistiği

t = 7,38/2,46 = 3

Cevap

t = 3

df = 19 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,093; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 68,23 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 12/√64 = 1,5

x̄_c = 80 + 2,326·1,5 = 83,49

Gerçek ortalama altında z

z = (83,49 − 84,2)/1,5 = −0,474

Güç

güç = P(Z > −0,474) = 68,23%

1 − β = 68,23%

Cevap

1 − β = 68,23%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,8762

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 102/5 = 20,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 41,2

Belirlilik katsayısı

r² = −19²/(10·41,2) = 0,8762

Cevap

r² = 0,8762

y’deki değişimin yaklaşık %87,62’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 10,89

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 70/6 = 11,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

Regresyon doğrusu

b = 96/70 = 1,371

a = 11,67 − 1,371·7 = 2,067

ŷ = 2,067 + 1,371·x

x için çözün

x = (17 − 2,067)/1,371 = 10,89

Cevap

x = 10,89

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1