İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 48, 39, 37, 42, 50, 34.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 107,5'ün altındadır?

μ = 100σ = 5x = 107,5

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,25, 0,3, 0,2

Var(X) =

4.OlasılıkZor

Bir testte 10 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,25 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 5 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 10p = 0,25k = 5

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,0162 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,0162

z =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %97,5 olan x değerini bulun (97,5. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 97,5%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

13 birimlik bir örneklemin ortalaması 44,5 ve standart sapması s = 6. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 13x̄ = 44,5s = 699%t(12) = 3,055

üst sınır =

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 10 parsel, ortalama verim 17,5 kg, standart sapma 1,5 kg. Parsel grubu 2: 6 parsel, ortalama 26 kg, standart sapma 7,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 10x̄₁ = 17,5s₁ = 1,5n₂ = 6x̄₂ = 26s₂ = 7,595%t(14) = 2,145

alt sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 6 öğrenci, ortalama puan 108,5, standart sapma 10,5. Grup 2: 8 öğrenci, ortalama puan 103,7, standart sapma 9,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 6x̄₁ = 108,5s₁ = 10,5n₂ = 8x̄₂ = 103,7s₂ = 9,5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

25 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 72. Anakütle standart sapması 8. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 72σ = 8n = 2599%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5Σx = 30Σy = 40Σx² = 220Σy² = 380Σxy = 288

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 67 tahmin eder?

n = 6ŷ = 67

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 6,282

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 250/6 = 41,67

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 6,333² + (−2,667)² + (−4,667)² + 0,3333² + 8,333² + (−7,667)² = 197,3

Standart sapma

s = √(197,3/5) = 6,282

Cevap

s = 6,282

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,9332

Standartlaştırın

z = 1,5

Standart normal tablo

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Cevap

P = 0,9332

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,147

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,25 + 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,2 = 1,45

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,2 = 3,25

Varyans

Var(X) = 3,25 − 1,45² = 1,147

Cevap

Var(X) = 1,147

4.Olasılık

Cevap: P = 0,0584

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 5) = 252·0,25⁵·0,75⁵ = 252·0,0009766·0,2373 = 0,0584

Cevap

P = 0,0584

5.Normal dağılım

Cevap: z = 2,14

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,0162 = 0,9838

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9838 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 2,14

Cevap

z = 2,14

6.Normal dağılım

Cevap: x = 84,6 puan

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

x’e geri dönüş

x = 65 + 1,96·10 = 84,6 puan

Cevap

x = 84,6 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 49,58

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 12, t = 3,055

Hata payı

E = 3,055·6/√13 = 5,084

Aralık

44,5 ± 5,084 → [39,42, 49,58]

Cevap

üst sınır = 49,58

8.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = −13,64 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (9·1,5² + 5·7,5²)/14 = 21,54

s_p = 4,641

Hata payı

E = 2,145·4,641·√(1/10 + 1/6) = 5,14

Aralık

−8,5 ± 5,14 → [−13,64, −3,36]

Cevap

alt sınır = −13,64 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 0,8952

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (5·10,5² + 7·9,5²)/12 = 98,58

s_p = 9,929

Standart hata

SE = 9,929·√(1/6 + 1/8) = 5,362

Test istatistiği

t = (108,5 − 103,7)/5,362 = 0,8952

Cevap

t = 0,8952

df = 12 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,179; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 76,12

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 2,576·8/√25 = 4,122

Aralık sınırı

U = 72 + 4,122 = 76,12

Cevap

U = 76,12

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9798

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Merkezlenmiş toplamlar

S_xy = 288 − 30·40/5 = 48

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 380 − 40²/5 = 60

Korelasyon katsayısı

r = 48/√(40·60) = 0,9798

Cevap

r = 0,9798

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 23,04

Ortalamalar

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 314/6 = 52,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 254

Regresyon doğrusu

b = 254/70 = 3,629

a = 52,33 − 3,629·19 = −16,61

ŷ = −16,61 + 3,629·x

x için çözün

x = (67 − (−16,61))/3,629 = 23,04

Cevap

x = 23,04

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1