Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 57, 12, 17, 56, 44, 58.
n = 6
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 59'ün altındadır?
μ = 50σ = 15x = 59
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,35, 0,15, 0,25
σ =
4.OlasılıkZor
11 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,3 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?
n = 11p = 0,3
P =
5.Normal dağılımOrta
X ortalaması 120 mm, standart sapması 0,3 mm olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 80 mm, standart sapması 0,4 mm olan normaldir. X + Y’nin 199,8 mm değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 120, σX = 0,3μY = 80, σY = 0,4X + Y > 199,8 mm
P =
6.Normal dağılımZor
Bir gruptaki erkeklerin boyu X ve kadınların boyu Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 180 cm, standart sapması 10 cm; Y’nin ortalaması 170 cm, standart sapması 12 cm’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
20 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması −6,5 ve standart sapması 6,2. Ortalama fark için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.
n = 20d̄ = −6,5sd = 6,295%t(19) = 2,093
üst sınır = mmHg
8.Güven aralıklarıZor
İşlenmiş 10 milin çaplarının örneklem standart sapması 9 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının üst sınır σ değerini bulun. df = 9 ile χ² dağılımının %2,5’i 2,7 değerinin altında, %2,5’i 19,023 değerinin üstündedir.
n = 10s = 9 µmχ² = 2,7, 19,023
σ = µm
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 12 öğrenci, ortalama puan 102, standart sapma 8. Grup 2: 14 öğrenci, ortalama puan 103,3, standart sapma 2. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.
n₁ = 12x̄₁ = 102s₁ = 8n₂ = 14x̄₂ = 103,3s₂ = 2
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ < 100 için tek yönlü bir z testi, 64 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.05 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 8 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 98.8’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 100μ = 98,8σ = 8n = 64α = 0,05
1 − β = %
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 6
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (9, 32) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 6(9, 32)
e =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 20,95
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 244/6 = 40,67
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 16,33² + (−28,67)² + (−23,67)² + 15,33² + 3,333² + 17,33² = 2195
Standart sapma
s = √(2195/5) = 20,95
Cevap
s = 20,95
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,7257
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 0,6
Standart normal tablo
Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257
Cevap
P = 0,7257
3.Olasılık
Cevap: σ = 11,14
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 10·0,25 + 20·0,35 + 30·0,15 + 40·0,25 = 24
Karelerin ortalaması
E(X²) = 100·0,25 + 400·0,35 + 900·0,15 + 1600·0,25 = 700
Varyans
Var(X) = 700 − 24² = 124
σ = √124 = 11,14
Cevap
σ = 11,14
4.Olasılık
Cevap: P = 0,113
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sıfır ve bir arıza
P(X = 0) = 0,711 = 0,01977
P(X = 1) = 11·0,3·0,710 = 0,09322
Toplayın
P = 0,01977 + 0,09322 = 0,113
Cevap
P = 0,113
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,6554
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm
Standartlaştırın
z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4
Üst kuyruk
P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554
Cevap
P = 0,6554
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,7389
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm
Standartlaştırın
z = (0 − 10)/15,62 = −0,64
Olasılık
P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389
Cevap
P = 0,7389
7.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = −3,598 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritik değer
df = 19, t = 2,093
Hata payı
E = 2,093·6,2/√20 = 2,902
Aralık
−6,5 ± 2,902 → [−9,402, −3,598]
Cevap
üst sınır = −3,598 mmHg
8.Güven aralıkları
Cevap: σ = 16,43 µm
Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.
Kareler toplamı
(n − 1)s² = 9·9² = 729
σ² için sınırlar
729/19,023 = 38,32
729/2,7 = 270
σ için sınır
σ = √270 = 16,43 µm
Cevap
σ = 16,43 µm
σ için %95 aralık: [6,19, 16,43] µm.
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −0,5888
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Birleştirilmiş varyans
sp² = (11·8² + 13·2²)/24 = 31,5
sp = 5,612
Standart hata
SE = 5,612·√(1/12 + 1/14) = 2,208
Test istatistiği
t = (102 − 103,3)/2,208 = −0,5888
Cevap
t = −0,5888
df = 24 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,064; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: 1 − β = 32,82 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 8/√64 = 1
x̄c = 100 − 1,645·1 = 98,36
Gerçek ortalama altında z
z = (98,36 − 98,8)/1 = −0,445
Güç
güç = P(Z < −0.445) = 32.82%
1 − β = 32,82%
Cevap
1 − β = 32,82%
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,992
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 395/6 = 65,83
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 249
Syy = Σ(y − ȳ)² = 892,8
Belirlilik katsayısı
r² = 249²/(70·892,8) = 0,992
Cevap
r² = 0,992
y’deki değişimin yaklaşık %99,2’ı doğru tarafından açıklanır.
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = −4,357
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 171/6 = 28,5
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 275
Regresyon doğrusu
b = 275/70 = 3,929
a = 28,5 − 3,929·7 = 1
ŷ = 1 + 3,929·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 1 + 3,929·9 = 36,36
Artık
e = 32 − 36,36 = −4,357
Cevap
e = −4,357
Nokta doğrunun altındadır.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1