İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 11, 34, 42, 42, 24, 26.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 8 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 88'ün altındadır?

μ = 100σ = 8x = 88

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 8 kırmızı ve 8 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

8 / 8

P =

4.OlasılıkZor

9 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,7 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 9p = 0,7

P =

5.Normal dağılımOrta

kutular kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 12 kg, standart sapma 0,8 kg. Bunlardan 10 tanesinin toplam kütlesinin 121,3 kg değerinin altında kalma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 10< 121.3 kg

P =

6.Normal dağılımZor

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %80 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 250 gσ = 5 g80%

x = g

7.Güven aralıklarıOrta

15 birimlik bir örneklemin ortalaması 95,5 ve standart sapması s = 15. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 15x̄ = 95,5s = 1590%t(14) = 1,761

E =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 7. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 7E = 195%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

49 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 505, örneklem standart sapması 12. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 500x̄ = 505s = 12n = 49

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 80’a karşı H₁: μ < 80 için tek yönlü bir z testi, 64 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.10 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 24 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 74.9’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 80μ = 74,9σ = 24n = 64α = 0,10

β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (11, 22) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(11, 22)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 11,97

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 179/6 = 29,83

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−18,83)² + 4,167² + 12,17² + 12,17² + (−5,833)² + (−3,833)² = 716,8

Standart sapma

s = √(716,8/5) = 11,97

Cevap

s = 11,97

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,06681

Standartlaştırın

z = −1,5

Standart normal tablo

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Cevap

P = 0,06681

3.Olasılık

Cevap: P = 0,2333

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 8/16 · 7/15 = 56/240 = 0,2333

Cevap

P = 0,2333

4.Olasılık

Cevap: P = 0,000433

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,3⁹ = 1,968 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 9·0,7·0,3⁸ = 0,0004133

Toplayın

P = 1,968 × 10⁻⁵ + 0,0004133 = 0,000433

Cevap

P = 0,000433

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,695

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ_T = 120 kg, σ_T = 0,8·√10 = 2,53 kg

Standartlaştırın

z = (121,3 − 120)/2,53 = 0,51

Olasılık

P = Φ(0,51) = 0,695

Cevap

P = 0,695

6.Normal dağılım

Cevap: x = 254,2 g

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,8

Tablodan z

z ≈ 0,84

Özgün birimlere geri dönüş

x = 250 + 0,84·5 = 254,2 g

Cevap

x = 254,2 g

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 6,82

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Hata payı

E = 1,761·15/√15 = 6,82

Cevap

E = 6,82

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 189

n'yi çözün

n = (1,96·7/1)² = 188,2

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 189

Cevap

n = 189

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 2,917

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Test istatistiği

t = (505 − 500)/1,714 = 2,917

Cevap

t = 2,917

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: β = 33,8 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 24/√64 = 3

x̄_c = 80 − 1,282·3 = 76,15

Gerçek ortalama altında z

z = (76,15 − 74,9)/3 = 0,418

II. tip hata

güç = P(Z < 0.418) = 66.2%

β = 100% − 66,2% = 33,8%

Cevap

β = 33,8%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9806

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 124/6 = 20,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 168

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 419,3

Korelasyon katsayısı

r = 168/√(70·419,3) = 0,9806

Cevap

r = 0,9806

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 2,162

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 82/6 = 13,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108

Regresyon doğrusu

b = 108/70 = 1,543

a = 13,67 − 1,543·7 = 2,867

ŷ = 2,867 + 1,543·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 2,867 + 1,543·11 = 19,84

Artık

e = 22 − 19,84 = 2,162

Cevap

e = 2,162

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1