Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 54, 29, 14, 18, 45, 13.
n = 6
s =
2.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 60 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 40 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 60σ = 20x = 40
z =
3.OlasılıkOrta
Hilesiz bir zar 5 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?
n = 5
P =
4.OlasılıkZor
Bir testte 9 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,5 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 1 doğru cevap olasılığı P nedir?
n = 9p = 0,5k = 1
P =
5.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9676 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,9676
z =
6.Normal dağılımZor
pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %25 olan x değerini bulun (25. yüzdelik).
μ = 500σ = 40P = 25%
x = h
7.Güven aralıklarıOrta
İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 100 telefon, ortalama 116 h, bilinen standart sapma 20 h. Model 2: 30 telefon, ortalama 119,5 h, bilinen standart sapma 9 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.
n₁ = 100x̄₁ = 116 hσ₁ = 20 hn₂ = 30x̄₂ = 119,5 hσ₂ = 9 h90%
alt sınır = h
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 10. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 2 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 10E = 299%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
9 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 14,31 ve farkların standart sapması 11,6. H₀: μd = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.
n = 9d̄ = 14,31sd = 11,6
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
49 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 125,4. Anakütle standart sapması 15. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.
x̄ = 125,4σ = 15n = 4990%
U =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 5
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (2,5, 12) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.
n = 5(2,5, 12)
e =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 17,22
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 173/6 = 28,83
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 25,17² + 0,1667² + (−14,83)² + (−10,83)² + 16,17² + (−15,83)² = 1483
Standart sapma
s = √(1483/5) = 17,22
Cevap
s = 17,22
2.Betimsel istatistik
Cevap: z = −1
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (40 − 60)/20 = −1
Cevap
z = −1
3.Olasılık
Cevap: P = 0,5981
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tümleyen
P(altı yok) = (5/6)5 = 0,4019
P = 1 − 0,4019 = 0,5981
Cevap
P = 0,5981
4.Olasılık
Cevap: P = 0,01758
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binom formülü
P(X = 1) = 9·0,51·0,58 = 9·0,5·0,003906 = 0,01758
Cevap
P = 0,01758
5.Normal dağılım
Cevap: z = 2,14
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = (1 + 0,9676)/2 = 0,9838
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,9838 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = 2,14
Cevap
z = 2,14
6.Normal dağılım
Cevap: x = 473 h
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
x’e geri dönüş
x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h
Cevap
x = 473,02 h
7.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = −7,758 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Nokta tahmini
x̄₁ − x̄₂ = 116 − 119,5 = −3,5
Standart hata
SE = √(20²/100 + 9²/30) = 2,588
Hata payı
E = 1,645·2,588 = 4,258
Aralık
−3,5 ± 4,258 → [−7,758, 0,758]
Cevap
alt sınır = −7,758 h
Aralık 0’ı içeriyor, yani veriler anlamlı bir fark göstermiyor.
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 166
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (2,576·10/2)² = 165,9
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 166
Cevap
n = 166
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 3,701
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ortalama farkın standart hatası
SE = 11,6/√9 = 3,867
Test istatistiği
t = 14,31/3,867 = 3,701
Cevap
t = 3,701
df = 8 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,306; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: U = 128,9
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Hata payı
E = 1,645·15/√49 = 3,525
Aralık sınırı
U = 125,4 + 3,525 = 128,9
Cevap
U = 128,9
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9088
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 113/5 = 22,6
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34
Syy = Σ(y − ȳ)² = 127,2
Belirlilik katsayısı
r² = −34²/(10·127,2) = 0,9088
Cevap
r² = 0,9088
y’deki değişimin yaklaşık %90,88’ı doğru tarafından açıklanır.
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: e = −5,15
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 77/5 = 15,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −35
Regresyon doğrusu
b = −35/10 = −3,5
a = 15,4 − (−3,5)·3 = 25,9
ŷ = 25,9 − 3,5·x
Tahmin edilen değer
ŷ = 25,9 + (−3,5)·2,5 = 17,15
Artık
e = 12 − 17,15 = −5,15
Cevap
e = −5,15
Nokta doğrunun altındadır.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1