Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 41, 33, 18, 18, 36.
n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 70 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. 65 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 70σ = 10x = 65
z =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,05, 0,2, 0,3, 0,15, 0,3
Var(X) =
4.OlasılıkZor
Bir oyunu oynamanın bedeli €1. 0,25 olasılıkla €4, 0,05 olasılıkla €50 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.
bahis = €1€4: p = 0,25€50: p = 0,05
E(G) = €
5.Normal dağılımOrta
X ortalaması 250 g, standart sapması 4 g olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 500 g, standart sapması 9 g olan normaldir. X + Y’nin 742,1 g değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 742,1 g
P =
6.Normal dağılımZor
IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %5 olan x değerini bulun (5. yüzdelik).
μ = 100σ = 15P = 5%
x = puan
7.Güven aralıklarıOrta
64 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %99 güven aralığının hata payı 8,2. Aynı verilerden elde edilen %90 aralığın hata payı E₂ nedir?
99%n₁ = 64E₁ = 8,290%
E₂ =
8.Güven aralıklarıZor
İşlenmiş 25 milin çaplarının örneklem standart sapması 1,1 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının alt sınır σ değerini bulun. df = 24 ile χ² dağılımının %2,5’i 12,401 değerinin altında, %2,5’i 39,364 değerinin üstündedir.
n = 25s = 1,1 µmχ² = 12,401, 39,364
σ = µm
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
81 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 52,33, örneklem standart sapması 10. H₀: μ = 50 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 50x̄ = 52,33s = 10n = 81
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 4. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.
σ = 4E = 390%
n =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 5
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 76 tahmin eder?
n = 5ŷ = 76
x =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 10,62
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 146/5 = 29,2
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 11,8² + 3,8² + (−11,2)² + (−11,2)² + 6,8² = 450,8
Standart sapma
s = √(450,8/4) = 10,62
Cevap
s = 10,62
2.Betimsel istatistik
Cevap: z = −0,5
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (65 − 70)/10 = −0,5
Cevap
z = −0,5
3.Olasılık
Cevap: Var(X) = 1,547
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,05 + 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,15 + 4·0,3 = 2,45
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,05 + 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,15 + 16·0,3 = 7,55
Varyans
Var(X) = 7,55 − 2,45² = 1,547
Cevap
Var(X) = 1,547
4.Olasılık
Cevap: E(G) = 2,5 €
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Net sonuçlar
G: 3 (p = 0,25), 49 (p = 0,05), −1 (p = 0,7)
Beklenen değer
E(G) = 3·0,25 + 49·0,05 − 1·0,7 = 2,5 €
Cevap
E(G) = 2,5 €
Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,7881
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g
Standartlaştırın
z = (742,1 − 750)/9,849 = −0,8
Üst kuyruk
P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881
Cevap
P = 0,7881
6.Normal dağılım
Cevap: x = 75,33 puan
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,05 → z = −1,645
x’e geri dönüş
x = 100 + −1,645·15 = 75,33 puan
Cevap
x = 75,33 puan
7.Güven aralıkları
Cevap: E₂ = 5,236
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Hata paylarının oranı
E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(64/64) = 0,6386
Yeni hata payı
E₂ = 8,2·0,6386 = 5,236
Cevap
E₂ = 5,236
8.Güven aralıkları
Cevap: σ = 0,8589 µm
Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.
Kareler toplamı
(n − 1)s² = 24·1,1² = 29,04
σ² için sınırlar
29,04/39,364 = 0,7377
29,04/12,401 = 2,342
σ için sınır
σ = √0,7377 = 0,8589 µm
Cevap
σ = 0,8589 µm
σ için %95 aralık: [0,8589, 1,53] µm.
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 2,097
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111
Test istatistiği
t = (52,33 − 50)/1,111 = 2,097
Cevap
t = 2,097
t0,025; df = 80 = 1,99
|t| > 1,99, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 5
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
n'yi çözün
n = (1,645·4/3)² = 4,811
Yukarı yuvarlayın
n = 5
Cevap
n = 5
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9551
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 80/5 = 16
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 82
Syy = Σ(y − ȳ)² = 176
Belirlilik katsayısı
r² = 82²/(40·176) = 0,9551
Cevap
r² = 0,9551
y’deki değişimin yaklaşık %95,51’ı doğru tarafından açıklanır.
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 21,04
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 359/5 = 71,8
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162
Regresyon doğrusu
b = 162/40 = 4,05
a = 71,8 − 4,05·20 = −9,2
ŷ = −9,2 + 4,05·x
x için çözün
x = (76 − (−9,2))/4,05 = 21,04
Cevap
x = 21,04
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1