Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 44, 27, 29, 28, 50, 54.
n = 6
s =
2.Betimsel istatistikZor
Sınav puanları ortalaması 70 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 46 puanının z puanı z'yi bulun.
μ = 70σ = 20x = 46
z =
3.OlasılıkOrta
Hilesiz bir zar 7 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?
n = 7
P =
4.OlasılıkZor
12 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,5 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?
n = 12p = 0,5
P =
5.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,9783 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,9783
z =
6.Normal dağılımZor
IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %25 olan x değerini bulun (25. yüzdelik).
μ = 100σ = 15P = 25%
x = puan
7.Güven aralıklarıOrta
100 gözleme ve bilinen σ’ya dayanan bir ortalama için %95 güven aralığının hata payı 8,3. Aynı çalışma bunun yerine 200 gözlem kullanırsa hata payı E₂ ne olur?
95%n₁ = 100E₁ = 8,3n₂ = 200
E₂ =
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 39. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 39E = 599%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
6 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark −3,66 ve farkların standart sapması 11,2. H₀: μd = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.
n = 6d̄ = −3,66sd = 11,2
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
α = 0,01 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 3 birimlik bir kaymayı %90 güçle saptamalıdır. Standart sapma 9. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.
α = 0,01güç = 90%δ = 3σ = 9zα = 2,326zβ = 1,282
n =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 15Σy = 110Σx² = 55Σy² = 2492Σxy = 304
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 7 için ŷ tahminini yapın.
n = 6x = 7
ŷ =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 12,13
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 232/6 = 38,67
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 5,333² + (−11,67)² + (−9,667)² + (−10,67)² + 11,33² + 15,33² = 735,3
Standart sapma
s = √(735,3/5) = 12,13
Cevap
s = 12,13
2.Betimsel istatistik
Cevap: z = −1,2
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = (46 − 70)/20 = −1,2
Cevap
z = −1,2
3.Olasılık
Cevap: P = 0,7209
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Tümleyen
P(altı yok) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209
Cevap
P = 0,7209
4.Olasılık
Cevap: P = 0,003174
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Sıfır ve bir arıza
P(X = 0) = 0,512 = 0,0002441
P(X = 1) = 12·0,5·0,511 = 0,00293
Toplayın
P = 0,0002441 + 0,00293 = 0,003174
Cevap
P = 0,003174
5.Normal dağılım
Cevap: z = −2,02
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = 1 − 0,9783 = 0,0217
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,0217 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = −2,02
Cevap
z = −2,02
6.Normal dağılım
Cevap: x = 89,88 puan
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
Yüzdelik için z
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
x’e geri dönüş
x = 100 + −0,6745·15 = 89,88 puan
Cevap
x = 89,88 puan
7.Güven aralıkları
Cevap: E₂ = 5,869
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
Hata paylarının oranı
E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(100/200) = 0,7071
Yeni hata payı
E₂ = 8,3·0,7071 = 5,869
Cevap
E₂ = 5,869
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 404
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (2,576·39/5)² = 403,7
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 404
Cevap
n = 404
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −0,8005
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Ortalama farkın standart hatası
SE = 11,2/√6 = 4,572
Test istatistiği
t = −3,66/4,572 = −0,8005
Cevap
t = −0,8005
df = 5 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,571; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: n = 118
Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = ((2,326 + 1,282)·9/3)² = 117,2
Yukarı yuvarlayın
n = 118
Cevap
n = 118
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = −0,969
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 304 − 15·110/5 = −26
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2492 − 110²/5 = 72
Korelasyon katsayısı
r = −26/√(10·72) = −0,969
Cevap
r = −0,969
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 30,83
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 185/6 = 30,83
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 285
Regresyon doğrusu
b = 285/70 = 4,071
a = 30,83 − 4,071·7 = 2,333
ŷ = 2,333 + 4,071·x
Tahmin
ŷ = 2,333 + 4,071·7 = 30,83
Cevap
ŷ = 30,83
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1