İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama
x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan
sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı
z = (x − μ)/σ
Normal dağılım
68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen
P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normal dağılım

z puanı
z = (x − μ)/σ
x’in altında
P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında
Φ(z2) − Φ(z1)
Yüzdelik
x = μ + z·σ

Yöntem

  1. Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
  3. Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
  4. Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor
x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü
n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

  1. z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
  2. Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
  3. Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
  4. Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ortalama için t testi
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü
|z| > 1,96 ise H0’ı reddet
Güven aralığı
x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

  1. H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
  2. Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
  3. Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
  4. İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim
b = Sxy/Sxx
Kesişim noktası
a = ȳ − b·x̄
Korelasyon
r = Sxy/√(SxxSyy)
Artık
e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta
101520253035404550

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 24, 10, 46, 18, 52.

n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
z −2−1012

Sınav puanları ortalaması 70 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 50 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 70σ = 20x = 50
z =
3.OlasılıkOrta
n = 8k = 4N = ?

8 kişilik bir gruptan 4 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 8k = 4
N =
4.OlasılıkZor
€p(x)−100,78100,21900,02

Bir oyunu oynamanın bedeli €10. 0,2 olasılıkla €20, 0,02 olasılıkla €200 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €10€20: p = 0,2€200: p = 0,02
E(G) = €
5.Normal dağılımOrta
−3−2−10123z−z ile z arasındaki gölgeli alan = 0,7243

Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,7243 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,7243
z =
6.Normal dağılımZor
0,05 mm0D − d?

Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,05 mm, standart sapması 0,02 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,02 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

delik: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
n = 15, s = 9L = ?Ux̄ = 17E99%

15 birimlik bir örneklemin ortalaması 17 ve standart sapması s = 9. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 15x̄ = 17s = 999%t(14) = 2,977
alt sınır =
8.Güven aralıklarıZor
σ = 13, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 395%

Anakütle standart sapması 13. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 13E = 395%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
−1,961,96z = ?

İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 50 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 77,5 mm ve hattın bilinen standart sapması 15 mm. Hat 2: 30 parçalık bir örneklemin ortalaması 68,9 mm, bilinen standart sapması 14 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.

n₁ = 50x̄₁ = 77,5 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 30x̄₂ = 68,9 mmσ₂ = 14 mm
z =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
z −1,64501,645

64 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 118,3. Anakütle standart sapması 5. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 118,3σ = 5n = 6490%
L =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
xy154117461944215123632568xy15202540506070

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
xy346447550656764863xy4685060x = 6,5

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (6,5, 54) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(6,5, 54)
e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 18,17

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 150/5 = 30

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−6)² + (−20)² + 16² + (−12)² + 22² = 1320

Standart sapma

s = √(1320/4) = 18,17

Cevap

s = 18,17
2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Standartlaştırın

z = (50 − 70)/20 = −1

Cevap

z = −1
3.Olasılık

Cevap: N = 70

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(8, 4) = (8·7·6·5)/(4·3·2·1) = 70

Cevap

N = 70
4.Olasılık

Cevap: E(G) = −2 €

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Net sonuçlar

G: 10 (p = 0,2), 190 (p = 0,02), −10 (p = 0,78)

Beklenen değer

E(G) = 10·0,2 + 190·0,02 − 10·0,78 = −2 €

Cevap

E(G) = −2 €

Negatif bir değer, ortalamada para kaybettiğiniz anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,09

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = (1 + 0,7243)/2 = 0,8621

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,8621 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,09

Cevap

z = 1,09
6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9616

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm

Standartlaştırın

z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77

Olasılık

P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616

Cevap

P = 0,9616
7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 10,08

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 14, t = 2,977

Hata payı

E = 2,977·9/√15 = 6,918

Aralık

17 ± 6,918 → [10,08, 23,92]

Cevap

alt sınır = 10,08
8.Güven aralıkları

Cevap: n = 73

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,96·13/3)² = 72,14

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 73

Cevap

n = 73
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = 2,589

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Farkın standart hatası

SE = √(15²/50 + 14²/30) = √11,03 = 3,322

Test istatistiği

z = (77,5 − 68,9)/3,322 = 2,589

Cevap

z = 2,589

|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 117,3

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,645·5/√64 = 1,028

Aralık sınırı

L = 118,3 − 1,028 = 117,3

Cevap

L = 117,3
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9427

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 313/6 = 52,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 193
Syy = Σ(y − ȳ)² = 598,8

Korelasyon katsayısı

r = 193/√(70·598,8) = 0,9427

Cevap

r = 0,9427
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −4,39

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 326/6 = 54,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 71

Regresyon doğrusu

b = 71/17,5 = 4,057
a = 54,33 − 4,057·5,5 = 32,02
ŷ = 32,02 + 4,057·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 32,02 + 4,057·6,5 = 58,39

Artık

e = 54 − 58,39 = −4,39

Cevap

e = −4,39

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1