İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 41, 46, 34, 47, 34.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 500 ve standart sapması 50 olan normal dağılımlıdır. 520 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 500σ = 50x = 520

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,25, 0,15

Var(X) =

4.OlasılıkZor

5 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,1 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 5p = 0,1

P =

5.Normal dağılımOrta

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 27,2 ile 44 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 32σ = 6x₁ = 27,2x₂ = 44

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %75 olan x değerini bulun (75. yüzdelik).

μ = 65σ = 10P = 75%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

16 birimlik bir örneklemin ortalaması 30 ve standart sapması s = 10,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 16x̄ = 30s = 10,595%t(15) = 2,131

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 37. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 37E = 590%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 13 öğrenci, ortalama puan 97,5, standart sapma 10. Grup 2: 18 öğrenci, ortalama puan 105, standart sapma 11,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 13x̄₁ = 97,5s₁ = 10n₂ = 18x̄₂ = 105s₂ = 11,5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

64 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 72,8. Anakütle standart sapması 10. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 72,8σ = 10n = 6495%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 10 tahmin eder?

n = 6ŷ = 10

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 6,269

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 202/5 = 40,4

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 0,6² + 5,6² + (−6,4)² + 6,6² + (−6,4)² = 157,2

Standart sapma

s = √(157,2/4) = 6,269

Cevap

s = 6,269

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 0,4

Standartlaştırın

z = (520 − 500)/50 = 0,4

Cevap

z = 0,4

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 4,35

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,25 + 6·0,15 = 2,5

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,25 + 36·0,15 = 10,6

Varyans

Var(X) = 10,6 − 2,5² = 4,35

Cevap

Var(X) = 4,35

4.Olasılık

Cevap: P = 0,9185

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,9⁵ = 0,5905

P(X = 1) = 5·0,1·0,9⁴ = 0,3281

Toplayın

P = 0,5905 + 0,3281 = 0,9185

Cevap

P = 0,9185

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,7654

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (27,2 − 32)/6 = −0,8

z₂ = (44 − 32)/6 = 2

Aradaki alan

P = Φ(2) − Φ(−0,8) = 0,9772 − 0,2119 = 0,7654

Cevap

P = 0,7654

6.Normal dağılım

Cevap: x = 71,75 puan

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

x’e geri dönüş

x = 65 + 0,6745·10 = 71,75 puan

Cevap

x = 71,75 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 24,41

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Hata payı

E = 2,131·10,5/√16 = 5,594

Aralık

30 ± 5,594 → [24,41, 35,59]

Cevap

alt sınır = 24,41

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 149

n'yi çözün

n = (1,645·37/5)² = 148,2

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 149

Cevap

n = 149

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −1,89

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (12·10² + 17·11,5²)/29 = 118,9

s_p = 10,9

Standart hata

SE = 10,9·√(1/13 + 1/18) = 3,969

Test istatistiği

t = (97,5 − 105)/3,969 = −1,89

Cevap

t = −1,89

df = 29 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,045; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 70,35

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,96·10/√64 = 2,45

Aralık sınırı

L = 72,8 − 2,45 = 70,35

Cevap

L = 70,35

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,8245

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 334/6 = 55,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 56

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 217,3

Belirlilik katsayısı

r² = 56²/(17,5·217,3) = 0,8245

Cevap

r² = 0,8245

y’deki değişimin yaklaşık %82,45’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 5,22

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 78/6 = 13

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118

Regresyon doğrusu

b = 118/70 = 1,686

a = 13 − 1,686·7 = 1,2

ŷ = 1,2 + 1,686·x

x için çözün

x = (10 − 1,2)/1,686 = 5,22

Cevap

x = 5,22

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1