İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 34, 12, 19, 53, 49.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 108 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 100σ = 20x = 108

z =

3.OlasılıkOrta

6 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 6k = 3

N =

4.OlasılıkZor

Bir testte 10 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,5 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 4 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 10p = 0,5k = 4

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,8621 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,8621

z =

6.Normal dağılımZor

Bir gruptaki erkeklerin boyu X ve kadınların boyu Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 180 cm, standart sapması 10 cm; Y’nin ortalaması 170 cm, standart sapması 12 cm’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

7.Güven aralıklarıOrta

7 birimlik bir örneklemin ortalaması 103 ve standart sapması s = 16. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 7x̄ = 103s = 1699%t(6) = 3,707

E =

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 11 parsel, ortalama verim 66,5 kg, standart sapma 5 kg. Parsel grubu 2: 15 parsel, ortalama 57 kg, standart sapma 4,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 11x̄₁ = 66,5s₁ = 5n₂ = 15x̄₂ = 57s₂ = 4,590%t(24) = 1,711

üst sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 9 öğrenci, ortalama puan 71, standart sapma 3. Grup 2: 8 öğrenci, ortalama puan 62,1, standart sapma 7,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 9x̄₁ = 71s₁ = 3n₂ = 8x̄₂ = 62,1s₂ = 7,5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 5. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 5E = 390%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (4, 66) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(4, 66)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 17,98

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 167/5 = 33,4

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 0,6² + (−21,4)² + (−14,4)² + 19,6² + 15,6² = 1293

Standart sapma

s = √(1293/4) = 17,98

Cevap

s = 17,98

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = 0,4

Standartlaştırın

z = (108 − 100)/20 = 0,4

Cevap

z = 0,4

3.Olasılık

Cevap: N = 20

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(6, 3) = (6·5·4)/(3·2·1) = 20

Cevap

N = 20

4.Olasılık

Cevap: P = 0,2051

Binom formülü

P(X = 4) = 210·0,5⁴·0,5⁶ = 210·0,0625·0,01563 = 0,2051

Cevap

P = 0,2051

5.Normal dağılım

Cevap: z = −1,09

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,8621 = 0,1379

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,1379 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = −1,09

Cevap

z = −1,09

6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,7389

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Standartlaştırın

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Olasılık

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Cevap

P = 0,7389

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 22,42

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Hata payı

E = 3,707·16/√7 = 22,42

Cevap

E = 22,42

8.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 12,7 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (10·5² + 14·4,5²)/24 = 22,23

s_p = 4,715

Hata payı

E = 1,711·4,715·√(1/11 + 1/15) = 3,202

Aralık

9,5 ± 3,202 → [6,298, 12,7]

Cevap

üst sınır = 12,7 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 3,287

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (8·3² + 7·7,5²)/15 = 31,05

s_p = 5,572

Standart hata

SE = 5,572·√(1/9 + 1/8) = 2,708

Test istatistiği

t = (71 − 62,1)/2,708 = 3,287

Cevap

t = 3,287

df = 15 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,131; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 8

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

n'yi çözün

n = (1,645·5/3)² = 7,517

Yukarı yuvarlayın

n = 8

Cevap

n = 8

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9957

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 175/6 = 29,17

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 277

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1101

Belirlilik katsayısı

r² = 277²/(70·1101) = 0,9957

Cevap

r² = 0,9957

y’deki değişimin yaklaşık %99,57’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 1,8

Ortalamalar

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 378/5 = 75,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 152

Regresyon doğrusu

b = 152/40 = 3,8

a = 75,6 − 3,8·7 = 49

ŷ = 49 + 3,8·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 49 + 3,8·4 = 64,2

Artık

e = 66 − 64,2 = 1,8

Cevap

e = 1,8

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1