İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 57, 37, 43, 40, 30, 44.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 45,6'ün üstündedir?

μ = 60σ = 12x = 45,6

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 4 kırmızı ve 8 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

4 / 8

P =

4.OlasılıkZor

7 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,3 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 7p = 0,3

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,0853 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,0853

z =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %40 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 65 puanσ = 10 puan40%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

16 birimlik bir örneklemin ortalaması 13 ve standart sapması s = 15. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n = 16x̄ = 13s = 1595%t(15) = 2,131

alt sınır =

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 15 parsel, ortalama verim 84 kg, standart sapma 1,5 kg. Parsel grubu 2: 11 parsel, ortalama 88 kg, standart sapma 4 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 15x̄₁ = 84s₁ = 1,5n₂ = 11x̄₂ = 88s₂ = 495%t(24) = 2,064

üst sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 10 öğrenci, ortalama puan 75,5, standart sapma 8. Grup 2: 7 öğrenci, ortalama puan 87,1, standart sapma 12. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 10x̄₁ = 75,5s₁ = 8n₂ = 7x̄₂ = 87,1s₂ = 12

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 15. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 15E = 390%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (9, 41) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(9, 41)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 8,976

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 251/6 = 41,83

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 15,17² + (−4,833)² + 1,167² + (−1,833)² + (−11,83)² + 2,167² = 402,8

Standart sapma

s = √(402,8/5) = 8,976

Cevap

s = 8,976

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,8849

Standartlaştırın

z = −1,2

Standart normal tablo

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Cevap

P = 0,8849

3.Olasılık

Cevap: P = 0,09091

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0,09091

Cevap

P = 0,09091

4.Olasılık

Cevap: P = 0,3294

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,7⁷ = 0,08235

P(X = 1) = 7·0,3·0,7⁶ = 0,2471

Toplayın

P = 0,08235 + 0,2471 = 0,3294

Cevap

P = 0,3294

5.Normal dağılım

Cevap: z = 1,37

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,0853 = 0,9147

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9147 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 1,37

Cevap

z = 1,37

6.Normal dağılım

Cevap: x = 62,5 puan

Soldaki alan

Φ(z) = 0,4

Tablodan z

z ≈ −0,25

Özgün birimlere geri dönüş

x = 65 − 0,25·10 = 62,5 puan

Cevap

x = 62,5 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 5,009

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Hata payı

E = 2,131·15/√16 = 7,991

Aralık

13 ± 7,991 → [5,009, 20,99]

Cevap

alt sınır = 5,009

8.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = −1,686 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (14·1,5² + 10·4²)/24 = 7,979

s_p = 2,825

Hata payı

E = 2,064·2,825·√(1/15 + 1/11) = 2,314

Aralık

−4 ± 2,314 → [−6,314, −1,686]

Cevap

üst sınır = −1,686 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,402

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (9·8² + 6·12²)/15 = 96

s_p = 9,798

Standart hata

SE = 9,798·√(1/10 + 1/7) = 4,828

Test istatistiği

t = (75,5 − 87,1)/4,828 = −2,402

Cevap

t = −2,402

df = 15 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,131; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 68

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

n'yi çözün

n = (1,645·15/3)² = 67,65

Yukarı yuvarlayın

n = 68

Cevap

n = 68

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9486

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 391/5 = 78,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 238

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1493

Belirlilik katsayısı

r² = 238²/(40·1493) = 0,9486

Cevap

r² = 0,9486

y’deki değişimin yaklaşık %94,86’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 4,05

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 124/5 = 24,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162

Regresyon doğrusu

b = 162/40 = 4,05

a = 24,8 − 4,05·6 = 0,5

ŷ = 0,5 + 4,05·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 0,5 + 4,05·9 = 36,95

Artık

e = 41 − 36,95 = 4,05

Cevap

e = 4,05

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1