İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama
x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan
sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı
z = (x − μ)/σ
Normal dağılım
68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen
P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normal dağılım

z puanı
z = (x − μ)/σ
x’in altında
P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında
Φ(z2) − Φ(z1)
Yüzdelik
x = μ + z·σ

Yöntem

  1. Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
  3. Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
  4. Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor
x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü
n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

  1. z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
  2. Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
  3. Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
  4. Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ortalama için t testi
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü
|z| > 1,96 ise H0’ı reddet
Güven aralığı
x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

  1. H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
  2. Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
  3. Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
  4. İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim
b = Sxy/Sxx
Kesişim noktası
a = ȳ − b·x̄
Korelasyon
r = Sxy/√(SxxSyy)
Artık
e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta
25303540455055

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 40, 48, 23, 37, 56.

n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
z −2−1012

Bir büyüklük ortalaması 50 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 53'ün altındadır?

μ = 50σ = 5x = 53
P =
3.OlasılıkOrta
P(en az bir altı) = ??1?2?3?4?5?6?7Her atışta P(altı) = 1/6

Hilesiz bir zar 7 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 7
P =
4.OlasılıkZor
xp(x)00,3510,3520,3μ

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 5X + 1. Y’nin standart sapmasını σY bulun.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3Y = 5X + 1
σY =
5.Normal dağılımOrta
32 min29,5 minX + Y?

X ortalaması 12 min, standart sapması 1,5 min olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 20 min, standart sapması 2 min olan normaldir. X + Y’nin 29,5 min değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μX = 12, σX = 1,5μY = 20, σY = 2X + Y > 29,5 min
P =
6.Normal dağılımZor
μ = 100x = ?90%

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %90 olan x değerini bulun (90. yüzdelik).

μ = 100σ = 15P = 90%
x = puan
7.Güven aralıklarıOrta
n = 7, sd​ = 7,40LUd̄ = 5,5E = ?95%

7 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 5,5 ve standart sapması 7,4. Ortalama fark için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 7d̄ = 5,5sd = 7,495%t(6) = 2,447
E = mmHg
8.Güven aralıklarıZor
σ = 29, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 295%

Anakütle standart sapması 29. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 2 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 29E = 295%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
t −2,13102,131

16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 194,8, örneklem standart sapması 8. H₀: μ = 200 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 200x̄ = 194,8s = 8n = 16
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
μ₀x̄c

H₀: μ = 500’a karşı H₁: μ < 500 için tek yönlü bir z testi, 100 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.10 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 30 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 494.9’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 500μ = 494,9σ = 30n = 100α = 0,10
1 − β = %
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
xy121220318414515611xy2461520

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
xy252356464566667775xy2466070x = 6,5

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 6,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 6,5
ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 12,4

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 204/5 = 40,8

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−0,8)² + 7,2² + (−17,8)² + (−3,8)² + 15,2² = 614,8

Standart sapma

s = √(614,8/4) = 12,4

Cevap

s = 12,4
2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,7257

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Standartlaştırın

z = 0,6

Standart normal tablo

Φ(0,6) = 0,7257
P = 0,7257

Cevap

P = 0,7257
3.Olasılık

Cevap: P = 0,7209

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Cevap

P = 0,7209
4.Olasılık

Cevap: σY = 4,023

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 0,95, Var(X) = 0,6475, σX = 0,8047

Doğrusal değişim

σY = |5|·0,8047 = 4,023

Cevap

σY = 4,023

Ortalama ise kayar: E(Y) = 5·0,95 + 1 = 5,75.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8413

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standartlaştırın

z = (29,5 − 32)/2,5 = −1

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(−1) = 1 − 0,1587 = 0,8413

Cevap

P = 0,8413
6.Normal dağılım

Cevap: x = 119,2 puan

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

x’e geri dönüş

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 puan

Cevap

x = 119,22 puan
7.Güven aralıkları

Cevap: E = 6,844 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 6, t = 2,447

Hata payı

E = 2,447·7,4/√7 = 6,844

Cevap

E = 6,844 mmHg
8.Güven aralıkları

Cevap: n = 808

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,96·29/2)² = 807,7

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 808

Cevap

n = 808
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,6

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 8/√16 = 8/4 = 2

Test istatistiği

t = (194,8 − 200)/2 = −2,6

Cevap

t = −2,6
t0,025; df = 15 = 2,131

|t| > 2,131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: 1 − β = 66,2 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 30/√100 = 3
x̄c = 500 − 1,282·3 = 496,2

Gerçek ortalama altında z

z = (496,2 − 494,9)/3 = 0,418

Güç

güç = P(Z < 0.418) = 66.2%
1 − β = 66,2%

Cevap

1 − β = 66,2%
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9254

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 99/6 = 16,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −34,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 73,5

Belirlilik katsayısı

r² = −34,5²/(17,5·73,5) = 0,9254

Cevap

r² = 0,9254

y’deki değişimin yaklaşık %92,54’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 71,9

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 380/6 = 63,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 75

Regresyon doğrusu

b = 75/17,5 = 4,286
a = 63,33 − 4,286·4,5 = 44,05
ŷ = 44,05 + 4,286·x

Tahmin

ŷ = 44,05 + 4,286·6,5 = 71,9

Cevap

ŷ = 71,9

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1