İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorularDerse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama
x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan
sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı
z = (x − μ)/σ
Normal dağılım
68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen
P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Normal dağılım

z puanı
z = (x − μ)/σ
x’in altında
P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında
Φ(z2) − Φ(z1)
Yüzdelik
x = μ + z·σ

Yöntem

  1. Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
  2. z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
  3. Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
  4. Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor
x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü
n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

  1. z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
  2. Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
  3. Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
  4. Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Ortalama için t testi
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü
|z| > 1,96 ise H0’ı reddet
Güven aralığı
x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

  1. H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
  2. Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
  3. Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
  4. İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim
b = Sxy/Sxx
Kesişim noktası
a = ȳ − b·x̄
Korelasyon
r = Sxy/√(SxxSyy)
Artık
e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta
101520253035

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 10, 13, 38, 31, 38.

n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
z −2−1012

Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. 80 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 100σ = 20x = 80
z =
3.OlasılıkOrta
P(en az bir altı) = ??1?2?3Her atışta P(altı) = 1/6

Hilesiz bir zar 3 kez atılıyor. En az bir altı gelme olasılığı P nedir?

n = 3
P =
4.OlasılıkZor
xp(x)00,3520,2540,3560,05μ

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 10X − 3. Y’nin standart sapmasını σY bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,25, 0,35, 0,05Y = 10X − 3
σY =
5.Normal dağılımOrta
480560P = ?

pil ömürleri, ortalaması 500 h ve standart sapması 40 h olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 480 ile 560 h arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 500σ = 40x1 = 480x2 = 560
P =
6.Normal dağılımZor
10 g0X − Y?

1. hattan bir ürünün kütlesi X ve 2. hattan olanın kütlesi Y bağımsız ve normaldir: X’in ortalaması 500 g, standart sapması 8 g; Y’nin ortalaması 490 g, standart sapması 6 g’dir. X’in Y’den büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μX = 500 g, σX = 8 gμY = 490 g, σY = 6 g
P =
7.Güven aralıklarıOrta
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E90%

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 40 telefon, ortalama 80,5 h, bilinen standart sapma 15 h. Model 2: 80 telefon, ortalama 69,5 h, bilinen standart sapma 6 h. μ₁ − μ₂ için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 40x̄₁ = 80,5 hσ₁ = 15 hn₂ = 80x̄₂ = 69,5 hσ₂ = 6 h90%
üst sınır = h
8.Güven aralıklarıZor
σ = 27, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,590%

Anakütle standart sapması 27. Ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 2,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 27E = 2,590%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
t −2,0302,03

36 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 45,6, örneklem standart sapması 12. H₀: μ = 50 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 50x̄ = 45,6s = 12n = 36
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0,05βσ = 30, güç 95%, n = ?

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 5 birimlik bir kaymayı %95 güçle saptamalıdır. Standart sapma 30. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 95%δ = 5σ = 30zα = 1,645zβ = 1,645
n =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
xy3635697809921199xy51080100

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
xy244116138211026xy5101020ŷ = 23

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 23 tahmin eder?

n = 5ŷ = 23
x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 13,58

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 130/5 = 26

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−16)² + (−13)² + 12² + 5² + 12² = 738

Standart sapma

s = √(738/4) = 13,58

Cevap

s = 13,58
2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Standartlaştırın

z = (80 − 100)/20 = −1

Cevap

z = −1
3.Olasılık

Cevap: P = 0,4213

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tümleyen

P(altı yok) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Cevap

P = 0,4213
4.Olasılık

Cevap: σY = 18,87

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 2,2, Var(X) = 3,56, σX = 1,887

Doğrusal değişim

σY = |10|·1,887 = 18,87

Cevap

σY = 18,87

Ortalama ise kayar: E(Y) = 10·2,2 − 3 = 19.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,6247

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (480 − 500)/40 = −0,5
z₂ = (560 − 500)/40 = 1,5

Aradaki alan

P = Φ(1,5) − Φ(−0,5) = 0,9332 − 0,3085 = 0,6247

Cevap

P = 0,6247
6.Normal dağılım

Cevap: P = 0,8413

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Farkın dağılımı

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Standartlaştırın

z = (0 − 10)/10 = −1

Olasılık

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Cevap

P = 0,8413
7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 15,05 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 80,5 − 69,5 = 11

Standart hata

SE = √(15²/40 + 6²/80) = 2,465

Hata payı

E = 1,645·2,465 = 4,055

Aralık

11 ± 4,055 → [6,945, 15,05]

Cevap

üst sınır = 15,05 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 316

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (1,645·27/2,5)² = 315,6

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 316

Cevap

n = 316
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,2

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 12/√36 = 12/6 = 2

Test istatistiği

t = (45,6 − 50)/2 = −2,2

Cevap

t = −2,2
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| > 2,03, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 390

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 1,645)·30/5)² = 389,7

Yukarı yuvarlayın

n = 390

Cevap

n = 390
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9941

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 35/5 = 7
ȳ = 403/5 = 80,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190
Syy = Σ(y − ȳ)² = 913,2

Korelasyon katsayısı

r = 190/√(40·913,2) = 0,9941

Cevap

r = 0,9941
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 8,963

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 75/5 = 15

Kareler ve çarpımlar toplamları

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108

Regresyon doğrusu

b = 108/40 = 2,7
a = 15 − 2,7·6 = −1,2
ŷ = −1,2 + 2,7·x

x için çözün

x = (23 − (−1,2))/2,7 = 8,963

Cevap

x = 8,963

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1