İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 36, 32, 27, 18, 30.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 104,8'ün altındadır?

μ = 100σ = 12x = 104,8

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,15, 0,2, 0,35

σ =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 2X − 3. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,3, 0,25, 0,2Y = 2X − 3

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,2119 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,2119

z =

6.Normal dağılımZor

torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %90 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 250 gσ = 5 g90%

x = g

7.Güven aralıklarıOrta

6 birimlik bir örneklemin ortalaması 113 ve standart sapması s = 4. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 6x̄ = 113s = 490%t(5) = 2,015

üst sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 30. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 3 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 30E = 395%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

81 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 46,56, örneklem standart sapması 10. H₀: μ = 50 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 50x̄ = 46,56s = 10n = 81

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

H₀: μ = 50’a karşı H₁: μ < 50 için tek yönlü bir z testi, 25 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.10 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 15 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 40.7’tir. II. tip hata olasılığı β değerini yüzde olarak bulun.

μ₀ = 50μ = 40,7σ = 15n = 25α = 0,10

β = %

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 17 tahmin eder?

n = 6ŷ = 17

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 6,768

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 143/5 = 28,6

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 7,4² + 3,4² + (−1,6)² + (−10,6)² + 1,4² = 183,2

Standart sapma

s = √(183,2/4) = 6,768

Cevap

s = 6,768

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,6554

Standartlaştırın

z = 0,4

Standart normal tablo

Φ(0,4) = 0,6554

P = 0,6554

Cevap

P = 0,6554

3.Olasılık

Cevap: σ = 1,241

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,3 + 2·0,15 + 3·0,2 + 4·0,35 = 2,6

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,3 + 4·0,15 + 9·0,2 + 16·0,35 = 8,3

Varyans

Var(X) = 8,3 − 2,6² = 1,54

σ = √1,54 = 1,241

Cevap

σ = 1,241

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 21,35

X’in yayılımı

μ = 24, Var(X) = 114, σ_X = 10,68

Doğrusal değişim

σ_Y = |2|·10,68 = 21,35

Cevap

σ_Y = 21,35

Ortalama ise kayar: E(Y) = 2·24 − 3 = 45.

5.Normal dağılım

Cevap: z = 0,8

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,2119 = 0,7881

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,7881 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 0,80

Cevap

z = 0,80

6.Normal dağılım

Cevap: x = 256,4 g

Soldaki alan

Φ(z) = 0,9

Tablodan z

z ≈ 1,28

Özgün birimlere geri dönüş

x = 250 + 1,28·5 = 256,4 g

Cevap

x = 256,4 g

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 116,3

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 5, t = 2,015

Hata payı

E = 2,015·4/√6 = 3,29

Aralık

113 ± 3,29 → [109,7, 116,3]

Cevap

üst sınır = 116,3

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 385

n'yi çözün

n = (1,96·30/3)² = 384,2

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 385

Cevap

n = 385

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −3,096

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 10/√81 = 10/9 = 1,111

Test istatistiği

t = (46,56 − 50)/1,111 = −3,096

Cevap

t = −3,096

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: β = 3,453 %

Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Kritik örneklem ortalaması

SE = 15/√25 = 3

x̄_c = 50 − 1,282·3 = 46,15

Gerçek ortalama altında z

z = (46,15 − 40,7)/3 = 1,818

II. tip hata

güç = P(Z < 1.818) = 96.55%

β = 100% − 96,55% = 3,453%

Cevap

β = 3,453%

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9182

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 245/5 = 49

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 279

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 942

Belirlilik katsayısı

r² = 279²/(90·942) = 0,9182

Cevap

r² = 0,9182

y’deki değişimin yaklaşık %91,82’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 5,508

Ortalamalar

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 123/6 = 20,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −30,5

Regresyon doğrusu

b = −30,5/17,5 = −1,743

a = 20,5 − (−1,743)·3,5 = 26,6

ŷ = 26,6 − 1,743·x

x için çözün

x = (17 − 26,6)/(−1,743) = 5,508

Cevap

x = 5,508

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1