İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 26, 23, 60, 26, 29, 16.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 174'ün üstündedir?

μ = 170σ = 10x = 174

P =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 8 kırmızı ve 7 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

8 / 7

P =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €3. 0,3 olasılıkla €9, 0,05 olasılıkla €30 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €3€9: p = 0,3€30: p = 0,05

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,8577 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,8577

z =

6.Normal dağılımZor

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %80 olan x değerini bulun (80. yüzdelik).

μ = 100σ = 15P = 80%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

16 birimlik bir örneklemin ortalaması 29,5 ve standart sapması s = 9,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %95 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 16x̄ = 29,5s = 9,595%t(15) = 2,131

üst sınır =

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 26. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 4 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 26E = 499%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

25 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 123,4, örneklem standart sapması 10. H₀: μ = 120 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 120x̄ = 123,4s = 10n = 25

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 5 birimlik bir kaymayı %90 güçle saptamalıdır. Standart sapma 29. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 90%δ = 5σ = 29z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (17, 70) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(17, 70)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,35

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 180/6 = 30

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−4)² + (−7)² + 30² + (−4)² + (−1)² + (−14)² = 1178

Standart sapma

s = √(1178/5) = 15,35

Cevap

s = 15,35

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,3446

Standartlaştırın

z = 0,4

Standart normal tablo

Φ(0,4) = 0,6554

P = 1 − 0,6554 = 0,3446

Cevap

P = 0,3446

3.Olasılık

Cevap: P = 0,2667

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 8/15 · 7/14 = 56/210 = 0,2667

Cevap

P = 0,2667

4.Olasılık

Cevap: E(G) = 1,2 €

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Net sonuçlar

G: 6 (p = 0,3), 27 (p = 0,05), −3 (p = 0,65)

Beklenen değer

E(G) = 6·0,3 + 27·0,05 − 3·0,65 = 1,2 €

Cevap

E(G) = 1,2 €

Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: z = −1,07

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,8577 = 0,1423

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,1423 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = −1,07

Cevap

z = −1,07

6.Normal dağılım

Cevap: x = 112,6 puan

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

x’e geri dönüş

x = 100 + 0,8416·15 = 112,62 puan

Cevap

x = 112,62 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 34,56

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Hata payı

E = 2,131·9,5/√16 = 5,061

Aralık

29,5 ± 5,061 → [24,44, 34,56]

Cevap

üst sınır = 34,56

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 281

n'yi çözün

n = (2,576·26/4)² = 280,4

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 281

Cevap

n = 281

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,7

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

Test istatistiği

t = (123,4 − 120)/2 = 1,7

Cevap

t = 1,7

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 289

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 1,282)·29/5)² = 288,2

Yukarı yuvarlayın

n = 289

Cevap

n = 289

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9856

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 581/5 = 116,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 576

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 3795

Korelasyon katsayısı

r = 576/√(90·3795) = 0,9856

Cevap

r = 0,9856

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 3,1

Ortalamalar

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 355/5 = 71

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164

Regresyon doğrusu

b = 164/40 = 4,1

a = 71 − 4,1·18 = −2,8

ŷ = −2,8 + 4,1·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −2,8 + 4,1·17 = 66,9

Artık

e = 70 − 66,9 = 3,1

Cevap

e = 3,1

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1