İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 23, 26, 13, 21, 23.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 60 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. 52,5 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 60σ = 15x = 52,5

z =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,2, 0,1, 0,1, 0,25

σ =

4.OlasılıkZor

9 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,4 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 9p = 0,4

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,0179 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,0179

z =

6.Normal dağılımZor

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %10 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 100 puanσ = 15 puan10%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

13 birimlik bir örneklemin ortalaması 34 ve standart sapması s = 20. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 13x̄ = 34s = 2099%t(12) = 3,055

üst sınır =

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 6 parsel, ortalama verim 16,5 kg, standart sapma 5 kg. Parsel grubu 2: 6 parsel, ortalama 15 kg, standart sapma 4,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 6x̄₁ = 16,5s₁ = 5n₂ = 6x̄₂ = 15s₂ = 4,599%t(10) = 3,169

alt sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 24 öğrenci, ortalama puan 90, standart sapma 11. Grup 2: 7 öğrenci, ortalama puan 96,1, standart sapma 10,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 24x̄₁ = 90s₁ = 11n₂ = 7x̄₂ = 96,1s₂ = 10,5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 2 birimlik bir kaymayı %80 güçle saptamalıdır. Standart sapma 21. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 80%δ = 2σ = 21z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (18, 76) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(18, 76)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 4,919

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 106/5 = 21,2

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 1,8² + 4,8² + (−8,2)² + (−0,2)² + 1,8² = 96,8

Standart sapma

s = √(96,8/4) = 4,919

Cevap

s = 4,919

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −0,5

Standartlaştırın

z = (52,5 − 60)/15 = −0,5

Cevap

z = −0,5

3.Olasılık

Cevap: σ = 1,616

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,35 + 1·0,2 + 2·0,1 + 3·0,1 + 4·0,25 = 1,7

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,2 + 4·0,1 + 9·0,1 + 16·0,25 = 5,5

Varyans

Var(X) = 5,5 − 1,7² = 2,61

σ = √2,61 = 1,616

Cevap

σ = 1,616

4.Olasılık

Cevap: P = 0,07054

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,6⁹ = 0,01008

P(X = 1) = 9·0,4·0,6⁸ = 0,06047

Toplayın

P = 0,01008 + 0,06047 = 0,07054

Cevap

P = 0,07054

5.Normal dağılım

Cevap: z = 2,1

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,0179 = 0,9821

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,9821 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = 2,10

Cevap

z = 2,10

6.Normal dağılım

Cevap: x = 119,2 puan

Soldaki alan

Φ(z) = 0,9

Tablodan z

z ≈ 1,28

Özgün birimlere geri dönüş

x = 100 + 1,28·15 = 119,2 puan

Cevap

x = 119,2 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 50,95

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 12, t = 3,055

Hata payı

E = 3,055·20/√13 = 16,95

Aralık

34 ± 16,95 → [17,05, 50,95]

Cevap

üst sınır = 50,95

8.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = −7,203 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (5·5² + 5·4,5²)/10 = 22,63

s_p = 4,757

Hata payı

E = 3,169·4,757·√(1/6 + 1/6) = 8,703

Aralık

1,5 ± 8,703 → [−7,203, 10,2]

Cevap

alt sınır = −7,203 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −1,303

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (23·11² + 6·10,5²)/29 = 118,8

s_p = 10,9

Standart hata

SE = 10,9·√(1/24 + 1/7) = 4,682

Test istatistiği

t = (90 − 96,1)/4,682 = −1,303

Cevap

t = −1,303

df = 29 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,045; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 682

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 0,842)·21/2)² = 681,9

Yukarı yuvarlayın

n = 682

Cevap

n = 682

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,962

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 280/5 = 56

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 162

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 682

Belirlilik katsayısı

r² = 162²/(40·682) = 0,962

Cevap

r² = 0,962

y’deki değişimin yaklaşık %96,2’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 1,5

Ortalamalar

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 399/5 = 79,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 212

Regresyon doğrusu

b = 212/40 = 5,3

a = 79,8 − 5,3·19 = −20,9

ŷ = −20,9 + 5,3·x

Tahmin edilen değer

ŷ = −20,9 + 5,3·18 = 74,5

Artık

e = 76 − 74,5 = 1,5

Cevap

e = 1,5

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1