Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 14, 14, 21, 60, 56.
n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 146'ün üstündedir?
μ = 170σ = 12x = 146
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,35, 0,05, 0,25
Var(X) =
4.OlasılıkZor
Bir testte 6 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,4 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 2 doğru cevap olasılığı P nedir?
n = 6p = 0,4k = 2
P =
5.Normal dağılımOrta
çimento torbaları kütleleri bağımsız ve normaldir; ortalama 25 kg, standart sapma 0,5 kg. Bunlardan 9 tanesinin toplam kütlesinin 228 kg değerinin altında kalma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 9< 228 kg
P =
6.Normal dağılımZor
torba ağırlıkları, ortalaması 250 g ve standart sapması 5 g olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %95 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.
μ = 250 gσ = 5 g95%
x = g
7.Güven aralıklarıOrta
11 birimlik bir örneklemin ortalaması 64 ve standart sapması s = 11. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.
n = 11x̄ = 64s = 1199%t(10) = 3,169
alt sınır =
8.Güven aralıklarıZor
Anakütle standart sapması 35. Ortalama için %95 güven aralığının hata payının en fazla 1,5 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?
σ = 35E = 1,595%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
49 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 498, örneklem standart sapması 10. H₀: μ = 500 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 500x̄ = 498s = 10n = 49
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 200 hastadan 100’i, B tedavisi alan 120 hastadan 73’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 100n₁ = 200x₂ = 73n₂ = 120
z =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 6
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 22 tahmin eder?
n = 5ŷ = 22
x =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 23,04
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 165/5 = 33
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = (−19)² + (−19)² + (−12)² + 27² + 23² = 2124
Standart sapma
s = √(2124/4) = 23,04
Cevap
s = 23,04
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,9772
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −2
Standart normal tablo
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
Cevap
P = 0,9772
3.Olasılık
Cevap: Var(X) = 1,36
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,05 + 3·0,25 = 1,2
Karelerin ortalaması
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,05 + 9·0,25 = 2,8
Varyans
Var(X) = 2,8 − 1,2² = 1,36
Cevap
Var(X) = 1,36
4.Olasılık
Cevap: P = 0,311
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binom formülü
P(X = 2) = 15·0,42·0,64 = 15·0,16·0,1296 = 0,311
Cevap
P = 0,311
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,9772
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Toplamın dağılımı
μT = 225 kg, σT = 0,5·√9 = 1,5 kg
Standartlaştırın
z = (228 − 225)/1,5 = 2
Olasılık
P = Φ(2) = 0,9772
Cevap
P = 0,9772
6.Normal dağılım
Cevap: x = 241,8 g
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
Soldaki alan
Φ(z) = 0,05
Tablodan z
z ≈ −1,64
Özgün birimlere geri dönüş
x = 250 − 1,64·5 = 241,8 g
Cevap
x = 241,8 g
7.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = 53,49
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 10, t = 3,169
Hata payı
E = 3,169·11/√11 = 10,51
Aralık
64 ± 10,51 → [53,49, 74,51]
Cevap
alt sınır = 53,49
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 2092
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
n'yi çözün
n = (1,96·35/1,5)² = 2092
Yukarı yuvarlayın
Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.
n = 2092
Cevap
n = 2092
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −1,4
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429
Test istatistiği
t = (498 − 500)/1,429 = −1,4
Cevap
t = −1,4
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| < 2.011, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = −1,883
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 100/200 = 0,5
p̂₂ = 73/120 = 0,6083
p̂ = 173/320 = 0,5406
H₀ altında standart hata
SE = √(0,5406·0,4594·(1/200 + 1/120)) = 0,05754
Test istatistiği
z = (0,5 − 0,6083)/0,05754 = −1,883
Cevap
z = −1,883
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9916
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 349/6 = 58,17
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 255
Syy = Σ(y − ȳ)² = 936,8
Belirlilik katsayısı
r² = 255²/(70·936,8) = 0,9916
Cevap
r² = 0,9916
y’deki değişimin yaklaşık %99,16’ı doğru tarafından açıklanır.
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: x = 4,3
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 123/5 = 24,6
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20
Regresyon doğrusu
b = −20/10 = −2
a = 24,6 − (−2)·3 = 30,6
ŷ = 30,6 − 2·x
x için çözün
x = (22 − 30,6)/(−2) = 4,3
Cevap
x = 4,3
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1