İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 14, 32, 33, 31, 44, 44.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 500 ve standart sapması 50 olan normal dağılımlıdır. 475 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 500σ = 50x = 475

z =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 5 kırmızı ve 8 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

5 / 8

P =

4.OlasılıkZor

11 parça test ediliyor ve her biri bağımsız olarak 0,1 olasılıkla bozuluyor. En fazla birinin bozulma olasılığı P nedir?

n = 11p = 0,1

P =

5.Normal dağılımOrta

Standart normal eğri altında, z’nin sağındaki gölgeli alan 0,9332 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.

A = 0,9332

z =

6.Normal dağılımZor

IQ puanları, ortalaması 100 puan ve standart sapması 15 puan olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %97,5 olan x değerini bulun (97,5. yüzdelik).

μ = 100σ = 15P = 97,5%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 80 telefon, ortalama 128,5 h, bilinen standart sapma 17 h. Model 2: 60 telefon, ortalama 119,5 h, bilinen standart sapma 6 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 80x̄₁ = 128,5 hσ₁ = 17 hn₂ = 60x̄₂ = 119,5 hσ₂ = 6 h99%

üst sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 15 milin çaplarının örneklem standart sapması 11,2 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının alt sınır σ değerini bulun. df = 14 ile χ² dağılımının %2,5’i 5,629 değerinin altında, %2,5’i 26,119 değerinin üstündedir.

n = 15s = 11,2 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki üretim hattı aynı parçayı üretiyor. Hat 1: 80 parçalık bir örneklemin ortalama uzunluğu 72 mm ve hattın bilinen standart sapması 7 mm. Hat 2: 50 parçalık bir örneklemin ortalaması 69,2 mm, bilinen standart sapması 3 mm. Farkı x̄₁ − x̄₂ (hat 1 eksi hat 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği z değerini bulun.

n₁ = 80x̄₁ = 72 mmσ₁ = 7 mmn₂ = 50x̄₂ = 69,2 mmσ₂ = 3 mm

z =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

α = 0,05 düzeyindeki tek yönlü bir z testi, ortalamadaki 3 birimlik bir kaymayı %90 güçle saptamalıdır. Standart sapma 20. En küçük örneklem büyüklüğü n değerini bulun.

α = 0,05güç = 90%δ = 3σ = 20z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = yıl cinsinden araç yaşı ve y = k€ cinsinden fiyat için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (4,5, 9) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 5(4,5, 9)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 11,03

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 198/6 = 33

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−19)² + (−1)² + 0² + (−2)² + 11² + 11² = 608

Standart sapma

s = √(608/5) = 11,03

Cevap

s = 11,03

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −0,5

Standartlaştırın

z = (475 − 500)/50 = −0,5

Cevap

z = −0,5

3.Olasılık

Cevap: P = 0,1282

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 5/13 · 4/12 = 20/156 = 0,1282

Cevap

P = 0,1282

4.Olasılık

Cevap: P = 0,6974

Sıfır ve bir arıza

P(X = 0) = 0,9¹¹ = 0,3138

P(X = 1) = 11·0,1·0,9¹⁰ = 0,3835

Toplayın

P = 0,3138 + 0,3835 = 0,6974

Cevap

P = 0,6974

5.Normal dağılım

Cevap: z = −1,5

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

z’nin solundaki alan

Φ(z) = 1 − 0,9332 = 0,0668

z tablosunu tersten okuyun

Tablonun içinde 0,0668 değerini bulun ve z’yi okuyun.

z = −1,50

Cevap

z = −1,50

6.Normal dağılım

Cevap: x = 129,4 puan

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

x’e geri dönüş

x = 100 + 1,96·15 = 129,4 puan

Cevap

x = 129,4 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 14,29 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 128,5 − 119,5 = 9

Standart hata

SE = √(17²/80 + 6²/60) = 2,052

Hata payı

E = 2,576·2,052 = 5,287

Aralık

9 ± 5,287 → [3,713, 14,29]

Cevap

üst sınır = 14,29 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: σ = 8,2 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 14·11,2² = 1756

σ² için sınırlar

1756/26,119 = 67,24

1756/5,629 = 312

σ için sınır

σ = √67,24 = 8,2 µm

Cevap

σ = 8,2 µm

σ için %95 aralık: [8,2, 17,66] µm.

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: z = 3,145

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Farkın standart hatası

SE = √(7²/80 + 3²/50) = √0,7925 = 0,8902

Test istatistiği

z = (72 − 69,2)/0,8902 = 3,145

Cevap

z = 3,145

|z| > 1,96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 381

Test için örneklem büyüklüğü: α düzeyindeki tek yönlü bir z testinde gerçek bir δ kaymasını 1 − β gücüyle saptamak için standart hata δ = (z_α + z_β)·σ/√n’yi sağlamalıdır; yani n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = ((1,645 + 1,282)·20/3)² = 380,8

Yukarı yuvarlayın

n = 381

Cevap

n = 381

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9914

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 117/5 = 23,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 443,2

Korelasyon katsayısı

r = 132/√(40·443,2) = 0,9914

Cevap

r = 0,9914

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = −1,95

Ortalamalar

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 78/5 = 15,6

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

Regresyon doğrusu

b = −31/10 = −3,1

a = 15,6 − (−3,1)·3 = 24,9

ŷ = 24,9 − 3,1·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 24,9 + (−3,1)·4,5 = 10,95

Artık

e = 9 − 10,95 = −1,95

Cevap

e = −1,95

Nokta doğrunun altındadır.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1