Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 57, 22, 32, 39, 22.
n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 15 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 147,5'ün altındadır?
μ = 170σ = 15x = 147,5
P =
3.OlasılıkOrta
12 kişilik bir gruptan 3 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.
n = 12k = 3
N =
4.OlasılıkZor
Bir testte 8 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,1 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 5 doğru cevap olasılığı P nedir?
n = 8p = 0,1k = 5
P =
5.Normal dağılımOrta
yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 175,9 ile 185,35 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.
μ = 178σ = 7x1 = 175,9x2 = 185,35
P =
6.Normal dağılımZor
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,03 mm, standart sapması 0,01 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,01 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
delik: μ = 25,03 mm, σ = 0,01 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
11 birimlik bir örneklemin ortalaması 76 ve standart sapması s = 8,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.
n = 11x̄ = 76s = 8,590%t(10) = 1,812
alt sınır =
8.Güven aralıklarıZor
İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 6 parsel, ortalama verim 61 kg, standart sapma 1,5 kg. Parsel grubu 2: 6 parsel, ortalama 59,5 kg, standart sapma 2,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.
n₁ = 6x̄₁ = 61s₁ = 1,5n₂ = 6x̄₂ = 59,5s₂ = 2,599%t(10) = 3,169
üst sınır = kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 16 öğrenci, ortalama puan 91,5, standart sapma 3. Grup 2: 10 öğrenci, ortalama puan 99,6, standart sapma 8,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.
n₁ = 16x̄₁ = 91,5s₁ = 3n₂ = 10x̄₂ = 99,6s₂ = 8,5
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
Bir denemede A tedavisi alan 120 hastadan 48’i, B tedavisi alan 200 hastadan 64’si iyileşiyor. Birleştirilmiş oranı kullanarak H₀: p₁ = p₂ için test istatistiği z değerini bulun.
x₁ = 48n₁ = 120x₂ = 64n₂ = 200
z =
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.
n = 5
r² =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 3 için ŷ tahminini yapın.
n = 5x = 3
ŷ =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 14,54
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 172/5 = 34,4
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 22,6² + (−12,4)² + (−2,4)² + 4,6² + (−12,4)² = 845,2
Standart sapma
s = √(845,2/4) = 14,54
Cevap
s = 14,54
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,06681
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = −1,5
Standart normal tablo
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681
Cevap
P = 0,06681
3.Olasılık
Cevap: N = 220
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Kombinasyonlar
C(12, 3) = (12·11·10)/(3·2·1) = 220
Cevap
N = 220
4.Olasılık
Cevap: P = 0,0004082
Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Binom formülü
P(X = 5) = 56·0,15·0,93 = 56·1 × 10⁻⁵·0,729 = 0,0004082
Cevap
P = 0,0004082
5.Normal dağılım
Cevap: P = 0,4711
Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.
z puanları
z₁ = (175,9 − 178)/7 = −0,3
z₂ = (185,35 − 178)/7 = 1,05
Aradaki alan
P = Φ(1,05) − Φ(−0,3) = 0,8531 − 0,3821 = 0,4711
Cevap
P = 0,4711
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,983
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01414 mm
Standartlaştırın
z = (0 − 0,03)/0,01414 = −2,12
Olasılık
P = 1 − Φ(−2,12) = 0,983
Cevap
P = 0,983
7.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = 71,36
Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.
Kritik değer
df = n − 1 = 10, t = 1,812
Hata payı
E = 1,812·8,5/√11 = 4,644
Aralık
76 ± 4,644 → [71,36, 80,64]
Cevap
alt sınır = 71,36
8.Güven aralıkları
Cevap: üst sınır = 5,272 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Birleştirilmiş standart sapma
sp² = (5·1,5² + 5·2,5²)/10 = 4,25
sp = 2,062
Hata payı
E = 3,169·2,062·√(1/6 + 1/6) = 3,772
Aralık
1,5 ± 3,772 → [−2,272, 5,272]
Cevap
üst sınır = 5,272 kg
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = −3,513
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Birleştirilmiş varyans
sp² = (15·3² + 9·8,5²)/24 = 32,72
sp = 5,72
Standart hata
SE = 5,72·√(1/16 + 1/10) = 2,306
Test istatistiği
t = (91,5 − 99,6)/2,306 = −3,513
Cevap
t = −3,513
df = 24 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,064; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: z = 1,453
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Örneklem oranları
p̂₁ = 48/120 = 0,4
p̂₂ = 64/200 = 0,32
p̂ = 112/320 = 0,35
H₀ altında standart hata
SE = √(0,35·0,65·(1/120 + 1/200)) = 0,05508
Test istatistiği
z = (0,4 − 0,32)/0,05508 = 1,453
Cevap
z = 1,453
|z| < 1.96, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r² = 0,9685
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 336/5 = 67,2
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 160
Syy = Σ(y − ȳ)² = 660,8
Belirlilik katsayısı
r² = 160²/(40·660,8) = 0,9685
Cevap
r² = 0,9685
y’deki değişimin yaklaşık %96,85’ı doğru tarafından açıklanır.
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 7,75
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 92/5 = 18,4
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142
Regresyon doğrusu
b = 142/40 = 3,55
a = 18,4 − 3,55·6 = −2,9
ŷ = −2,9 + 3,55·x
Tahmin
ŷ = −2,9 + 3,55·3 = 7,75
Cevap
ŷ = 7,75
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1