İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 24, 38, 25, 21, 25, 60, 36.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 12 olan normal dağılımlıdır. 82 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 100σ = 12x = 82

z =

3.OlasılıkOrta

9 kişilik bir gruptan 5 kişilik bir komite kaç farklı şekilde N seçilebilir? Sıra önemli değildir.

n = 9k = 5

N =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 0,5X + 1. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,2, 0,3, 0,35, 0,15Y = 0,5X + 1

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

teslimat süreleri, ortalaması 32 min ve standart sapması 6 min olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 23 ile 33,5 min arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 32σ = 6x₁ = 23x₂ = 33,5

P =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %40 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 178 cmσ = 7 cm40%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

10 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 7,4 ve standart sapması 3,7. Ortalama fark için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.

n = 10d̄ = 7,4s_d = 3,799%t(9) = 3,25

üst sınır = mmHg

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 5 parsel, ortalama verim 45,5 kg, standart sapma 3 kg. Parsel grubu 2: 16 parsel, ortalama 40 kg, standart sapma 9,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n₁ = 5x̄₁ = 45,5s₁ = 3n₂ = 16x̄₂ = 40s₂ = 9,595%t(19) = 2,093

E = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

15 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 1,58 ve farkların standart sapması 4,7. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 15d̄ = 1,58s_d = 4,7

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %90 güven aralığının hata payının en fazla 1,5 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 10. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 10E = 1,590%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 5

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Doğru hangi değer x için ŷ = 47 tahmin eder?

n = 5ŷ = 47

x =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 13,63

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 229/7 = 32,71

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−8,714)² + 5,286² + (−7,714)² + (−11,71)² + (−7,714)² + 27,29² + 3,286² = 1115

Standart sapma

s = √(1115/6) = 13,63

Cevap

s = 13,63

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −1,5

Standartlaştırın

z = (82 − 100)/12 = −1,5

Cevap

z = −1,5

3.Olasılık

Cevap: N = 126

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Kombinasyonlar

C(9, 5) = (9·8·7·6·5)/(5·4·3·2·1) = 126

Cevap

N = 126

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 0,9734

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 2,9, Var(X) = 3,79, σ_X = 1,947

Doğrusal değişim

σ_Y = |0,5|·1,947 = 0,9734

Cevap

σ_Y = 0,9734

Ortalama ise kayar: E(Y) = 0,5·2,9 + 1 = 2,45.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,5319

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (23 − 32)/6 = −1,5

z₂ = (33,5 − 32)/6 = 0,25

Aradaki alan

P = Φ(0,25) − Φ(−1,5) = 0,5987 − 0,06681 = 0,5319

Cevap

P = 0,5319

6.Normal dağılım

Cevap: x = 176,3 cm

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,4

Tablodan z

z ≈ −0,25

Özgün birimlere geri dönüş

x = 178 − 0,25·7 = 176,3 cm

Cevap

x = 176,3 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = 11,2 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Kritik değer

df = 9, t = 3,25

Hata payı

E = 3,25·3,7/√10 = 3,803

Aralık

7,4 ± 3,803 → [3,597, 11,2]

Cevap

üst sınır = 11,2 mmHg

8.Güven aralıkları

Cevap: E = 9,171 kg

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (4·3² + 15·9,5²)/19 = 73,14

s_p = 8,552

Hata payı

E = 2,093·8,552·√(1/5 + 1/16) = 9,171

Cevap

E = 9,171 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,302

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 4,7/√15 = 1,214

Test istatistiği

t = 1,58/1,214 = 1,302

Cevap

t = 1,302

df = 14 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,145; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 121

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

n'yi çözün

n = (1,645·10/1,5)² = 120,3

Yukarı yuvarlayın

n = 121

Cevap

n = 121

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,97

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 247/5 = 49,4

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 190

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 959,2

Korelasyon katsayısı

r = 190/√(40·959,2) = 0,97

Cevap

r = 0,97

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: x = 2,979

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 306/5 = 61,2

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 188

Regresyon doğrusu

b = 188/40 = 4,7

a = 61,2 − 4,7·6 = 33

ŷ = 33 + 4,7·x

x için çözün

x = (47 − 33)/4,7 = 2,979

Cevap

x = 2,979

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1