İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 48, 30, 24, 33, 42.

n = 5

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 170 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 154'ün altındadır?

μ = 170σ = 20x = 154

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in standart sapmasını σ bulun.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,1, 0,35

σ =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 3X + 20. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,15, 0,35, 0,3, 0,1Y = 3X + 20

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 120 mm, standart sapması 0,3 mm olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 80 mm, standart sapması 0,4 mm olan normaldir. X + Y’nin 199,3 mm değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,3 mm

P =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Altında kalan değerlerin oranı %99 olan x değerini bulun (99. yüzdelik).

μ = 178σ = 7P = 99%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

11 birimlik bir örneklemin ortalaması 35 ve standart sapması s = 1,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %90 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 11x̄ = 35s = 1,590%t(10) = 1,812

E =

8.Güven aralıklarıZor

İşlenmiş 16 milin çaplarının örneklem standart sapması 11,1 µm’dir. Çapların normal dağıldığını varsayarak anakütle standart sapması için %95 güven aralığının üst sınır σ değerini bulun. df = 15 ile χ² dağılımının %2,5’i 6,262 değerinin altında, %2,5’i 27,488 değerinin üstündedir.

n = 16s = 11,1 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

16 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 107, örneklem standart sapması 20. H₀: μ = 120 için test istatistiği t'ü bulun.

μ₀ = 120x̄ = 107s = 20n = 16

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

100 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 497,9. Anakütle standart sapması 10. Ortalama için %90 güven aralığının alt sınırı L'ü bulun.

x̄ = 497,9σ = 10n = 10090%

L =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 6

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 20 için ŷ tahminini yapın.

n = 6x = 20

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 9,581

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 177/5 = 35,4

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 12,6² + (−5,4)² + (−11,4)² + (−2,4)² + 6,6² = 367,2

Standart sapma

s = √(367,2/4) = 9,581

Cevap

s = 9,581

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,2119

Standartlaştırın

z = −0,8

Standart normal tablo

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Cevap

P = 0,2119

3.Olasılık

Cevap: σ = 1,158

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 0·0,2 + 1·0,35 + 2·0,1 + 3·0,35 = 1,6

Karelerin ortalaması

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,35 + 4·0,1 + 9·0,35 = 3,9

Varyans

Var(X) = 3,9 − 1,6² = 1,34

σ = √1,34 = 1,158

Cevap

σ = 1,158

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 3,324

X’in yayılımı

μ = 2,15, Var(X) = 1,228, σ_X = 1,108

Doğrusal değişim

σ_Y = |3|·1,108 = 3,324

Cevap

σ_Y = 3,324

Ortalama ise kayar: E(Y) = 3·2,15 + 20 = 26,45.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9192

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

Standartlaştırın

z = (199,3 − 200)/0,5 = −1,4

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(−1,4) = 1 − 0,08076 = 0,9192

Cevap

P = 0,9192

6.Normal dağılım

Cevap: x = 194,3 cm

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

Yüzdelik için z

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

x’e geri dönüş

x = 178 + 2,326·7 = 194,28 cm

Cevap

x = 194,28 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 0,8195

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 10, t = 1,812

Hata payı

E = 1,812·1,5/√11 = 0,8195

Cevap

E = 0,8195

8.Güven aralıkları

Cevap: σ = 17,18 µm

Bir varyans için aralık: (n − 1)s²/σ², n − 1 serbestlik dereceli bir χ² dağılımına sahiptir. σ² için %95 aralık, (n − 1)s²’nin üst χ² değerine (üstünde %2,5) bölümünden, alt χ² değerine (altında %2,5) bölümüne kadar uzanır; σ için aralık iki sınırın kareköküdür. s etrafında simetrik değildir.

Kareler toplamı

(n − 1)s² = 15·11,1² = 1848

σ² için sınırlar

1848/27,488 = 67,23

1848/6,262 = 295,1

σ için sınır

σ = √295,1 = 17,18 µm

Cevap

σ = 17,18 µm

σ için %95 aralık: [8,2, 17,18] µm.

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = −2,6

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Standart hata

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Test istatistiği

t = (107 − 120)/5 = −2,6

Cevap

t = −2,6

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilir (iki yönlü).

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: L = 496,3

Hata payı

E = 1,645·10/√100 = 1,645

Aralık sınırı

L = 497,9 − 1,645 = 496,3

Cevap

L = 496,3

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,853

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 298/6 = 49,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 195,3

Belirlilik katsayısı

r² = 54²/(17,5·195,3) = 0,853

Cevap

r² = 0,853

y’deki değişimin yaklaşık %85,3’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 74,33

Ortalamalar

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 446/6 = 74,33

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236

Regresyon doğrusu

b = 236/70 = 3,371

a = 74,33 − 3,371·20 = 6,905

ŷ = 6,905 + 3,371·x

Tahmin

ŷ = 6,905 + 3,371·20 = 74,33

Cevap

ŷ = 74,33

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1