Betimsel istatistik
- Ortalama
- x̄ = Σx/n
- Örneklem standart sapması
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Medyan
- sıralı verinin ortadaki değeri
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- Normal dağılım
- 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde
İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi
Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.
1Formüller ve yöntemler
Olasılık
- Tümleyen
- P(not A) = 1 − P(A)
- Toplama kuralı
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Bağımsız olaylar
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Koşullu olasılık
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Binom
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Normal dağılım
- z puanı
- z = (x − μ)/σ
- x’in altında
- P(X < x) = Φ(z)
- x’in üstünde
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Arasında
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Yüzdelik
- x = μ + z·σ
Yöntem
- Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
- z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
- Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
- Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.
Güven aralıkları
- σ biliniyor
- x̄ ± z·σ/√n
- σ bilinmiyor
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Kritik z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Örneklem büyüklüğü
- n = (z·σ/E)², rounded up
Yöntem
- z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
- Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
- Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
- Aralık: x̄ ± E.
Hipotez testleri ve güven aralıkları
- Ortalama için z testi
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Ortalama için t testi
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- 5% düzeyinde çift yönlü
- |z| > 1,96 ise H0’ı reddet
- Güven aralığı
- x̄ ± z·σ/√n
Yöntem
- H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
- Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
- Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
- İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.
Doğrusal regresyon ve korelasyon
- Kareler toplamları
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Eğim
- b = Sxy/Sxx
- Kesişim noktası
- a = ȳ − b·x̄
- Korelasyon
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Artık
- e = y − ŷ
2Alıştırma soruları
1.Betimsel istatistikOrta
Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 51, 27, 29, 36, 45.
n = 5
s =
2.Betimsel istatistikZor
Bir büyüklük ortalaması 100 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 130'ün altındadır?
μ = 100σ = 20x = 130
P =
3.OlasılıkOrta
Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,35, 0,15, 0,3
Var(X) =
4.OlasılıkZor
X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = −2X + 5. Y’nin standart sapmasını σY bulun.
x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,2, 0,35, 0,15Y = −2X + 5
σY =
5.Normal dağılımOrta
Standart normal eğri altında, −z ile z arasındaki gölgeli alan 0,9774 olacak şekilde z’yi sürükleyin. z’yi iki ondalıkla bulun.
A = 0,9774
z =
6.Normal dağılımZor
Delik çapları D normaldir; ortalaması 25,04 mm, standart sapması 0,015 mm. Mil çapları d bağımsızdır ve normaldir; ortalaması 25 mm, standart sapması 0,01 mm. Rastgele seçilen bir mil, D − d > 0 olduğunda yerine oturur. Yerine oturma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.
delik: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmmil: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
7.Güven aralıklarıOrta
7 hastanın kan basıncı bir tedaviden önce ve sonra ölçülüyor. d = önce − sonra farklarının (mmHg) ortalaması 1,9 ve standart sapması 6,4. Ortalama fark için %90 güven aralığının alt sınırını bulun.
n = 7d̄ = 1,9sd = 6,490%t(6) = 1,943
alt sınır = mmHg
8.Güven aralıklarıZor
Kusurlu ürünlerin oranı hakkında önceden hiçbir şey bilinmiyor. Oran için %90 güven aralığının hata payının en fazla 0,03 olması için kaç ürün n incelenmelidir?
p = 0,5E = 0,0390%
n =
9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta
64 öğrencilik bir örneklemin ortalama puanı 50,85, örneklem standart sapması 4. H₀: μ = 50 için test istatistiği t'ü bulun.
μ₀ = 50x̄ = 50,85s = 4n = 64
t =
10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor
H₀: μ = 100’a karşı H₁: μ < 100 için tek yönlü bir z testi, 25 büyüklüğünde bir örneklemle α = 0.10 düzeyinde yapılıyor; standart sapmanın 7.5 olduğu biliniyor. Gerçekte ortalama 97’tir. Testin gücü 1 − β değerini yüzde olarak bulun.
μ₀ = 100μ = 97σ = 7,5n = 25α = 0,10
1 − β = %
11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta
Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Toplamları verilmiştir. Bu toplamlardan Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.
n = 5Σx = 35Σy = 217Σx² = 285Σy² = 9891Σxy = 1655
r =
12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor
Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 7 için ŷ tahminini yapın.
n = 6x = 7
ŷ =
3Çözeltiler
1.Betimsel istatistik
Cevap: s = 10,29
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Ortalama
x̄ = 188/5 = 37,6
Sapmaların kareleri
Σ(x − x̄)² = 13,4² + (−10,6)² + (−8,6)² + (−1,6)² + 7,4² = 423,2
Standart sapma
s = √(423,2/4) = 10,29
Cevap
s = 10,29
2.Betimsel istatistik
Cevap: P = 0,9332
Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.
Standartlaştırın
z = 1,5
Standart normal tablo
Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332
Cevap
P = 0,9332
3.Olasılık
Cevap: Var(X) = 1,248
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
Ortalama
μ = 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,15 + 4·0,3 = 2,55
Karelerin ortalaması
E(X²) = 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,15 + 16·0,3 = 7,75
Varyans
Var(X) = 7,75 − 2,55² = 1,248
Cevap
Var(X) = 1,248
4.Olasılık
Cevap: σY = 2,124
Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σY = |a|·σX’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.
X’in yayılımı
μ = 2,35, Var(X) = 1,128, σX = 1,062
Doğrusal değişim
σY = |−2|·1,062 = 2,124
Cevap
σY = 2,124
Ortalama ise kayar: E(Y) = −2·2,35 + 5 = 0,3.
5.Normal dağılım
Cevap: z = 2,28
Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.
z’nin solundaki alan
Φ(z) = (1 + 0,9774)/2 = 0,9887
z tablosunu tersten okuyun
Tablonun içinde 0,9887 değerini bulun ve z’yi okuyun.
z = 2,28
Cevap
z = 2,28
6.Normal dağılım
Cevap: P = 0,9868
Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μX ± μY. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σX² + σY², dolayısıyla σ = √(σX² + σY²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.
Farkın dağılımı
μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm
Standartlaştırın
z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22
Olasılık
P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868
Cevap
P = 0,9868
7.Güven aralıkları
Cevap: alt sınır = −2,8 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Kritik değer
df = 6, t = 1,943
Hata payı
E = 1,943·6,4/√7 = 4,7
Aralık
1,9 ± 4,7 → [−2,8, 6,6]
Cevap
alt sınır = −2,8 mmHg
8.Güven aralıkları
Cevap: n = 752
Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.
n'yi çözün
n = 1,645²·0,5·0,5/0,03² = 751,7
Yukarı yuvarlayın
n = 752
Cevap
n = 752
9.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: t = 1,7
Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.
Standart hata
SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5
Test istatistiği
t = (50,85 − 50)/0,5 = 1,7
Cevap
t = 1,7
t0,025; df = 63 = 1,998
|t| < 1.998, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez (iki yönlü).
10.Hipotez testleri ve güven aralıkları
Cevap: 1 − β = 76,36 %
Testin gücü: güç = 1 − β, H₀ yanlışken onu reddetme olasılığıdır. μ₀ ve z_α’dan x̄c kesim noktasını bulun, sonra gerçek ortalamayı kullanarak x̄c’nin ötesine düşme olasılığını hesaplayın: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Kritik örneklem ortalaması
SE = 7,5/√25 = 1,5
x̄c = 100 − 1,282·1,5 = 98,08
Gerçek ortalama altında z
z = (98,08 − 97)/1,5 = 0,718
Güç
güç = P(Z < 0.718) = 76.36%
1 − β = 76,36%
Cevap
1 − β = 76,36%
11.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: r = 0,9885
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Merkezlenmiş toplamlar
Sxy = 1655 − 35·217/5 = 136
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 9891 − 217²/5 = 473,2
Korelasyon katsayısı
r = 136/√(40·473,2) = 0,9885
Cevap
r = 0,9885
12.Doğrusal regresyon ve korelasyon
Cevap: ŷ = 9,833
En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.
Ortalamalar
x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 59/6 = 9,833
Kareler ve çarpımlar toplamları
Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 113
Regresyon doğrusu
b = 113/70 = 1,614
a = 9,833 − 1,614·7 = −1,467
ŷ = −1,467 + 1,614·x
Tahmin
ŷ = −1,467 + 1,614·7 = 9,833
Cevap
ŷ = 9,833
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1