İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 26, 48, 45, 36, 12, 53, 21.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 60 ve standart sapması 20 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 80'ün üstündedir?

μ = 60σ = 20x = 80

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,05, 0,3, 0,35, 0,1

Var(X) =

4.OlasılıkZor

Bir oyunu oynamanın bedeli €10. 0,3 olasılıkla €40, 0,01 olasılıkla €100 kazanırsınız; aksi halde hiçbir şey kazanmazsınız. Bahis geri verilmez. Oyun başına beklenen net kazancı E(G) bulun.

bahis = €10€40: p = 0,3€100: p = 0,01

E(G) = €

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 12 min, standart sapması 1,5 min olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 20 min, standart sapması 2 min olan normaldir. X + Y’nin 28,3 min değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 28,3 min

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %5 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 65 puanσ = 10 puan5%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 30 telefon, ortalama 63,5 h, bilinen standart sapma 16 h. Model 2: 60 telefon, ortalama 56,5 h, bilinen standart sapma 3 h. μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 30x̄₁ = 63,5 hσ₁ = 16 hn₂ = 60x̄₂ = 56,5 hσ₂ = 3 h99%

alt sınır = h

8.Güven aralıklarıZor

Anakütle standart sapması 13. Ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 2 olması için ne büyüklükte bir örneklem n gerekir?

σ = 13E = 299%

n =

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

Bir anakütlenin ortalamasının 500 olduğu iddia ediliyor; anakütle standart sapmasının 12,5 olduğu biliniyor. 25 gözlemli rastgele bir örneklemin ortalaması 503,25. H₀: μ = 500’a karşı H₁: μ ≠ 500 test edin. p-değeri p değerini bulun.

μ₀ = 500σ = 12,5n = 25x̄ = 503,25H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

Bir ortalama için %99 güven aralığının hata payının en fazla 1 olması için örneklem ne kadar büyük olmalıdır? Standart sapma 15. En küçük örneklem büyüklüğü n'ü bulun.

σ = 15E = 199%

n =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = kN cinsinden yük ve y = mm cinsinden uzama için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. Pearson korelasyon katsayısı r değerini bulun.

n = 6

r =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (2,5, 50) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(2,5, 50)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 15,26

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 241/7 = 34,43

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−8,429)² + 13,57² + 10,57² + 1,571² + (−22,43)² + 18,57² + (−13,43)² = 1398

Standart sapma

s = √(1398/6) = 15,26

Cevap

s = 15,26

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,1587

Standartlaştırın

z = 1

Standart normal tablo

Φ(1) = 0,8413

P = 1 − 0,8413 = 0,1587

Cevap

P = 0,1587

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,59

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,2 + 2·0,05 + 3·0,3 + 4·0,35 + 5·0,1 = 3,1

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,05 + 9·0,3 + 16·0,35 + 25·0,1 = 11,2

Varyans

Var(X) = 11,2 − 3,1² = 1,59

Cevap

Var(X) = 1,59

4.Olasılık

Cevap: E(G) = 3 €

Net sonuçlar

G: 30 (p = 0,3), 90 (p = 0,01), −10 (p = 0,69)

Beklenen değer

E(G) = 30·0,3 + 90·0,01 − 10·0,69 = 3 €

Cevap

E(G) = 3 €

Pozitif bir değer, ortalamada para kazandığınız anlamına gelir.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,9306

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Standartlaştırın

z = (28,3 − 32)/2,5 = −1,48

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(−1,48) = 1 − 0,06944 = 0,9306

Cevap

P = 0,9306

6.Normal dağılım

Cevap: x = 48,6 puan

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,05

Tablodan z

z ≈ −1,64

Özgün birimlere geri dönüş

x = 65 − 1,64·10 = 48,6 puan

Cevap

x = 48,6 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = −0,5908 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 63,5 − 56,5 = 7

Standart hata

SE = √(16²/30 + 3²/60) = 2,947

Hata payı

E = 2,576·2,947 = 7,591

Aralık

7 ± 7,591 → [−0,5908, 14,59]

Cevap

alt sınır = −0,5908 h

Aralık 0’ı içeriyor, yani veriler anlamlı bir fark göstermiyor.

8.Güven aralıkları

Cevap: n = 281

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

n'yi çözün

n = (2,576·13/2)² = 280,4

Yukarı yuvarlayın

Örneklem büyüklüğü bir tam sayıdır ve aşağı yuvarlamak hata payını fazla büyük yapar.

n = 281

Cevap

n = 281

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: p = 0,1936

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Test istatistiği

SE = σ/√n = 12,5/√25 = 2,5

z = (503,25 − 500)/2,5 = 1,3

Kuyruk alanı

Φ(1,3) = 0,9032

1 − Φ(1,3) = 0,0968

p-değeri

p = 2·0,0968 = 0,1936

Cevap

p = 0,1936

p > 0,05, yani H₀ %5 düzeyinde reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: n = 1494

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

n'yi çözün

n = (2,576·15/1)² = 1493

Yukarı yuvarlayın

n = 1494

Cevap

n = 1494

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r = 0,9894

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 89/6 = 14,83

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 129

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 242,8

Korelasyon katsayısı

r = 129/√(70·242,8) = 0,9894

Cevap

r = 0,9894

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 2,362

Ortalamalar

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 388/6 = 64,67

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 149

Regresyon doğrusu

b = 149/17,5 = 8,514

a = 64,67 − 8,514·4,5 = 26,35

ŷ = 26,35 + 8,514·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 26,35 + 8,514·2,5 = 47,64

Artık

e = 50 − 47,64 = 2,362

Cevap

e = 2,362

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1