İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 23, 38, 10, 60, 42, 12.

n = 6

s =

2.Betimsel istatistikZor

Bir büyüklük ortalaması 70 ve standart sapması 10 olan normal dağılımlıdır. Değerlerin hangi oranı P 50'ün altındadır?

μ = 70σ = 10x = 50

P =

3.OlasılıkOrta

Gösterilen dağılım için X’in varyansını Var(X) bulun.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,05, 0,05, 0,35, 0,3, 0,25

Var(X) =

4.OlasılıkZor

Bir testte 11 çoktan seçmeli soru var. Tahminle cevap veren bir öğrenci her birini bağımsız olarak 0,5 olasılıkla doğru yapıyor. Tam olarak 4 doğru cevap olasılığı P nedir?

n = 11p = 0,5k = 4

P =

5.Normal dağılımOrta

X ortalaması 60 s, standart sapması 5 s olan normal bir değişkendir; Y bağımsızdır ve ortalaması 45 s, standart sapması 4 s olan normaldir. X + Y’nin 110,1 s değerinden büyük olma olasılığını P bulun. z’yi iki ondalığa yuvarlayın.

μ_X = 60, σ_X = 5μ_Y = 45, σ_Y = 4X + Y > 110,1 s

P =

6.Normal dağılımZor

sınav puanları, ortalaması 65 puan ve standart sapması 10 puan olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en alt %5 solunda kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 65 puanσ = 10 puan5%

x = puan

7.Güven aralıklarıOrta

16 birimlik bir örneklemin ortalaması 10,5 ve standart sapması s = 3,5. Anakütle yaklaşık olarak normaldir. Ortalama için %99 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n = 16x̄ = 10,5s = 3,599%t(15) = 2,947

E =

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 12 parsel, ortalama verim 82 kg, standart sapma 1,5 kg. Parsel grubu 2: 10 parsel, ortalama 76 kg, standart sapma 4 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının alt sınırını bulun.

n₁ = 12x̄₁ = 82s₁ = 1,5n₂ = 10x̄₂ = 76s₂ = 495%t(20) = 2,086

alt sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

İki öğretim yöntemi karşılaştırılıyor. Grup 1: 9 öğrenci, ortalama puan 110, standart sapma 5. Grup 2: 22 öğrenci, ortalama puan 106,3, standart sapma 8,5. Anakütle varyanslarını eşit kabul edin ve birleştirilmiş iki örneklemli t testini kullanın. Farkı x̄₁ − x̄₂ (grup 1 eksi grup 2) alarak H₀: μ₁ = μ₂ için test istatistiği t değerini bulun.

n₁ = 9x̄₁ = 110s₁ = 5n₂ = 22x̄₂ = 106,3s₂ = 8,5

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

25 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 201,9. Anakütle standart sapması 4. Ortalama için %90 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 201,9σ = 4n = 2590%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = k€ cinsinden reklam harcaması ve y = k€ cinsinden satışlar için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 6 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. Yeni bir gözlem (2,5, 51) yapılıyor. Artığı e = y − ŷ değerini bulun.

n = 6(2,5, 51)

e =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 19,37

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 185/6 = 30,83

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = (−7,833)² + 7,167² + (−20,83)² + 29,17² + 11,17² + (−18,83)² = 1877

Standart sapma

s = √(1877/5) = 19,37

Cevap

s = 19,37

2.Betimsel istatistik

Cevap: P = 0,02275

Standartlaştırın

z = −2

Standart normal tablo

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Cevap

P = 0,02275

3.Olasılık

Cevap: Var(X) = 1,128

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

Ortalama

μ = 1·0,05 + 2·0,05 + 3·0,35 + 4·0,3 + 5·0,25 = 3,65

Karelerin ortalaması

E(X²) = 1·0,05 + 4·0,05 + 9·0,35 + 16·0,3 + 25·0,25 = 14,45

Varyans

Var(X) = 14,45 − 3,65² = 1,128

Cevap

Var(X) = 1,128

4.Olasılık

Cevap: P = 0,1611

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Binom formülü

P(X = 4) = 330·0,5⁴·0,5⁷ = 330·0,0625·0,007813 = 0,1611

Cevap

P = 0,1611

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,2119

Normal değişkenlerin toplamı ve farkı: X ve Y bağımsız ve normal ise X + Y ve X − Y de normaldir. Ortalamalar toplanır ya da çıkarılır: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Varyanslar fark için de her zaman toplanır: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², dolayısıyla σ = √(σ_X² + σ_Y²). Standart sapmalar asla doğrudan toplanmaz. Aynı dağılıma sahip n bağımsız parçanın toplamının ortalaması n·μ, standart sapması σ·√n’dir. Sonra her zamanki gibi standartlaştırın: z = (x − ortalama)/σ ve Φ(z)’yi okuyun.

Toplamın dağılımı

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

Standartlaştırın

z = (110,1 − 105)/6,403 = 0,8

Üst kuyruk

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Cevap

P = 0,2119

6.Normal dağılım

Cevap: x = 48,6 puan

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,05

Tablodan z

z ≈ −1,64

Özgün birimlere geri dönüş

x = 65 − 1,64·10 = 48,6 puan

Cevap

x = 48,6 puan

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 2,579

Ortalama için güven aralığı: x̄ ± hata payı. Anakütle σ’sı biliniyorsa hata payı z·σ/√n’dir; yalnızca örneklem standart sapması s biliniyorsa n − 1 serbestlik dereceli t kullanın: t·s/√n. Kritik değerler: z = 1,645 (%90), 1,96 (%95), 2,576 (%99). E veya daha küçük bir hata payı için n ≥ (z·σ/E)² gerekir, yukarı yuvarlanır.

Kritik değer

df = n − 1 = 15, t = 2,947

Hata payı

E = 2,947·3,5/√16 = 2,579

Cevap

E = 2,579

8.Güven aralıkları

Cevap: alt sınır = 3,406 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (11·1,5² + 9·4²)/20 = 8,438

s_p = 2,905

Hata payı

E = 2,086·2,905·√(1/12 + 1/10) = 2,594

Aralık

6 ± 2,594 → [3,406, 8,594]

Cevap

alt sınır = 3,406 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 1,215

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Birleştirilmiş varyans

s_p² = (8·5² + 21·8,5²)/29 = 59,22

s_p = 7,695

Standart hata

SE = 7,695·√(1/9 + 1/22) = 3,045

Test istatistiği

t = (110 − 106,3)/3,045 = 1,215

Cevap

t = 1,215

df = 29 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,045; |t| daha küçük, yani H₀ reddedilmez.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 203,2

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 1,645·4/√25 = 1,316

Aralık sınırı

U = 201,9 + 1,316 = 203,2

Cevap

U = 203,2

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,9788

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 309/5 = 61,8

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 238

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1447

Belirlilik katsayısı

r² = 238²/(40·1447) = 0,9788

Cevap

r² = 0,9788

y’deki değişimin yaklaşık %97,88’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: e = 4,529

Ortalamalar

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 321/6 = 53,5

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 61,5

Regresyon doğrusu

b = 61,5/17,5 = 3,514

a = 53,5 − 3,514·4,5 = 37,69

ŷ = 37,69 + 3,514·x

Tahmin edilen değer

ŷ = 37,69 + 3,514·2,5 = 46,47

Artık

e = 51 − 46,47 = 4,529

Cevap

e = 4,529

Nokta doğrunun üstündedir.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1