İstatistiğe Giriş: hızlı tekrar paketi

Formül kâğıtları, her konunun temel yöntem adımları ve 12 alıştırma sorusu; tam çözümler en sonda.

Yeni sorular Derse dön

Yazdırma penceresinde, bir kopyayı cihazınızda saklamak için “PDF olarak kaydet” seçeneğini seçin.

1Formüller ve yöntemler

Betimsel istatistik

Ortalama: x̄ = Σx/n
Örneklem standart sapması: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Medyan: sıralı verinin ortadaki değeri
z puanı: z = (x − μ)/σ
Normal dağılım: 68% ±1σ içinde, 95% ±2σ içinde

Olasılık

Tümleyen: P(not A) = 1 − P(A)
Toplama kuralı: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Bağımsız olaylar: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Koşullu olasılık: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Binom: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Normal dağılım

z puanı: z = (x − μ)/σ
x’in altında: P(X < x) = Φ(z)
x’in üstünde: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Arasında: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Yüzdelik: x = μ + z·σ

Yöntem

Değeri z puanına çevirin: z = (x − μ)/σ.
z’nin solundaki alan olan Φ(z)’yi tablodan bulun.
Sağdaki alan için 1 − Φ(z) kullanın; bir aralık için iki sol alanı birbirinden çıkarın.
Bir yüzdelik için geriye doğru çalışın: alan için z’yi bulun, sonra x = μ + z·σ.

Güven aralıkları

σ biliniyor: x̄ ± z·σ/√n
σ bilinmiyor: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Kritik z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Örneklem büyüklüğü: n = (z·σ/E)², rounded up

Yöntem

z (anakütle σ’sı biliniyor) ile t (yalnızca örneklem s’si, n − 1 serbestlik derecesiyle) arasında karar verin.
Güven düzeyi için kritik değeri bulun.
Hata payı: E = kritik değer × standart sapma/√n.
Aralık: x̄ ± E.

Hipotez testleri ve güven aralıkları

Ortalama için z testi: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Ortalama için t testi: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
5% düzeyinde çift yönlü: |z| > 1,96 ise H₀’ı reddet
Güven aralığı: x̄ ± z·σ/√n

Yöntem

H₀ ve H₁’i belirtin ve testin tek mi çift yönlü mü olduğuna karar verin.
Test istatistiğini hesaplayın: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) ya da s ve t ile.
Kritik değerle karşılaştırın ya da p değerini bulun.
İstatistik kritik değerin ötesindeyse (p, α’dan küçükse) H₀’ı reddedin ve sonucu sözle ifade edin.

Doğrusal regresyon ve korelasyon

Kareler toplamları: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Eğim: b = S_xy/S_xx
Kesişim noktası: a = ȳ − b·x̄
Korelasyon: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Artık: e = y − ŷ

2Alıştırma soruları

1.Betimsel istatistikOrta

Verinin örneklem standart sapması s'ı bulun: 37, 31, 41, 31, 22, 34, 25.

n = 7

s =

2.Betimsel istatistikZor

Sınav puanları ortalaması 100 ve standart sapması 5 olan normal dağılımlıdır. 90 puanının z puanı z'yi bulun.

μ = 100σ = 5x = 90

z =

3.OlasılıkOrta

Bir torbada 7 kırmızı ve 3 mavi top var. İlkini geri koymadan iki top çekiyorsunuz. İkisinin de kırmızı olma olasılığı P nedir?

7 / 3

P =

4.OlasılıkZor

X gösterilen dağılıma sahiptir ve Y = 10X − 3. Y’nin standart sapmasını σ_Y bulun.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,15, 0,35, 0,05Y = 10X − 3

σ_Y =

5.Normal dağılımOrta

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılıma uyar. Hangi oran 166,8 ile 185 cm arasındadır? P değerini ondalık sayı olarak verin.

μ = 178σ = 7x₁ = 166,8x₂ = 185

P =

6.Normal dağılımZor

yetişkin erkeklerin boyları, ortalaması 178 cm ve standart sapması 7 cm olan normal dağılım gösterir. Gölgeli en üst %40 sağında kalacak şekilde kesme değerini sürükleyin. Kesme değerini x bulun.

μ = 178 cmσ = 7 cm40%

x = cm

7.Güven aralıklarıOrta

İki telefon modelinin pil ömrü karşılaştırılıyor. Model 1: 30 telefon, ortalama 54 h, bilinen standart sapma 16 h. Model 2: 30 telefon, ortalama 63 h, bilinen standart sapma 8 h. μ₁ − μ₂ için %95 güven aralığının hata payı E değerini bulun.

n₁ = 30x̄₁ = 54 hσ₁ = 16 hn₂ = 30x̄₂ = 63 hσ₂ = 8 h95%

E = h

8.Güven aralıklarıZor

İki gübre test ediliyor. Parsel grubu 1: 13 parsel, ortalama verim 40,5 kg, standart sapma 3 kg. Parsel grubu 2: 8 parsel, ortalama 44,5 kg, standart sapma 2,5 kg. Varyansları eşit kabul edin (birleştirilmiş t, df = n₁ + n₂ − 2). μ₁ − μ₂ için %99 güven aralığının üst sınırını bulun.

n₁ = 13x̄₁ = 40,5s₁ = 3n₂ = 8x̄₂ = 44,5s₂ = 2,599%t(19) = 2,861

üst sınır = kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıklarıOrta

13 çalışan bir eğitim kursundan önce ve sonra yazma testine giriyor. Her kişi için d = sonra − önce farkı (dakikadaki kelime) kaydediliyor. Ortalama fark 4,85 ve farkların standart sapması 4,6. H₀: μ_d = 0 için eşleştirilmiş test istatistiği t değerini bulun.

n = 13d̄ = 4,85s_d = 4,6

t =

10.Hipotez testleri ve güven aralıklarıZor

49 ölçümlük bir örneklemin ortalaması 53,2. Anakütle standart sapması 8. Ortalama için %99 güven aralığının üst sınırı U'ü bulun.

x̄ = 53,2σ = 8n = 4999%

U =

11.Doğrusal regresyon ve korelasyonOrta

Tablo, x = çalışılan saat ve y = sınav puanı için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusunun belirlilik katsayısı r² değerini bulun.

n = 5

r² =

12.Doğrusal regresyon ve korelasyonZor

Tablo, x = °C cinsinden sıcaklık ve y = satılan dondurma için 5 eşleştirilmiş gözlem veriyor. En küçük kareler doğrusu ŷ = a + b·x’i kullanın. x = 24,5 için ŷ tahminini yapın.

n = 5x = 24,5

ŷ =

3Çözeltiler

1.Betimsel istatistik

Cevap: s = 6,579

Betimsel istatistik: ortalama, toplamın n'ye bölümüdür; medyan, sıralanmış verinin ortadaki değeridir (n çiftse ortadaki iki değerin ortalaması). Örneklem standart sapması s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z puanı z = (x − μ)/σ, bir değerin ortalamadan kaç standart sapma uzakta olduğunu söyler.

Ortalama

x̄ = 221/7 = 31,57

Sapmaların kareleri

Σ(x − x̄)² = 5,429² + (−0,5714)² + 9,429² + (−0,5714)² + (−9,571)² + 2,429² + (−6,571)² = 259,7

Standart sapma

s = √(259,7/6) = 6,579

Cevap

s = 6,579

2.Betimsel istatistik

Cevap: z = −2

Standartlaştırın

z = (90 − 100)/5 = −2

Cevap

z = −2

3.Olasılık

Cevap: P = 0,4667

Olasılık: eşit olasılıklı sonuçlarda P(A) = uygun/toplam. Bağımsız olaylarda çarpılır: P(A ve B) = P(A)·P(B). Tümleyen çoğu zaman işe yarar: P(en az bir) = 1 − P(hiç). Binom: başarı olasılığı p olan n bağımsız denemede P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Birinci ve ikinci çekiş

P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0,4667

Cevap

P = 0,4667

4.Olasılık

Cevap: σ_Y = 12,99

Kesikli rastgele değişkenler: bir olasılık dağılımı, bir değişkenin alabileceği her x değerini p(x) olasılığıyla listeler; olasılıklar 0 ile 1 arasındadır ve toplamları 1’dir. Beklenen değer (ortalama) E(X) = Σx·p(x)’tir, yani uzun vadeli ortalamadır. Varyans Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²’dir ve standart sapma σ = √Var(X)’tir. Doğrusal bir değişimde Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) ve σ_Y = |a|·σ_X’tir; sabit eklemek yayılımı değiştirmez.

X’in yayılımı

μ = 1,75, Var(X) = 1,688, σ_X = 1,299

Doğrusal değişim

σ_Y = |10|·1,299 = 12,99

Cevap

σ_Y = 12,99

Ortalama ise kayar: E(Y) = 10·1,75 − 3 = 14,5.

5.Normal dağılım

Cevap: P = 0,7865

Normal dağılım: bir x değerini z = (x − μ)/σ ile z puanına çevirin; z, ortalamadan kaç standart sapma uzakta olunduğunu sayar. z tablosu (ya da Φ(z)) z’nin solundaki alanı, yani P(X < x) değerini verir. Sağdaki alan 1 − Φ(z), iki değer arasındaki alan ise bu iki alanın farkıdır.

z puanları

z₁ = (166,8 − 178)/7 = −1,6

z₂ = (185 − 178)/7 = 1

Aradaki alan

P = Φ(1) − Φ(−1,6) = 0,8413 − 0,0548 = 0,7865

Cevap

P = 0,7865

6.Normal dağılım

Cevap: x = 179,8 cm

Bir alandan z’ye geri dönmek: Φ(z), z’nin solundaki alandır. Sol kuyruk alanı A için tabloda Φ(z) = A olan z’yi bulun. Sağ kuyruk alanı A, Φ(z) = 1 − A demektir. −z ile z arasındaki merkezî alan A, her kuyrukta (1 − A)/2 bırakır, yani Φ(z) = (1 + A)/2. Bir x değeri için x = μ + zσ kullanın.

Soldaki alan

Φ(z) = 0,6

Tablodan z

z ≈ 0,25

Özgün birimlere geri dönüş

x = 178 + 0,25·7 = 179,8 cm

Cevap

x = 179,8 cm

7.Güven aralıkları

Cevap: E = 6,401 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Nokta tahmini

x̄₁ − x̄₂ = 54 − 63 = −9

Standart hata

SE = √(16²/30 + 8²/30) = 3,266

Hata payı

E = 1,96·3,266 = 6,401

Cevap

E = 6,401 h

Aralık 0’ı içermiyor, yani ortalamalar anlamlı biçimde farklıdır.

8.Güven aralıkları

Cevap: üst sınır = −0,3667 kg

Birleştirilmiş standart sapma

s_p² = (12·3² + 7·2,5²)/19 = 7,987

s_p = 2,826

Hata payı

E = 2,861·2,826·√(1/13 + 1/8) = 3,633

Aralık

−4 ± 3,633 → [−7,633, −0,3667]

Cevap

üst sınır = −0,3667 kg

9.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: t = 3,802

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Ortalama farkın standart hatası

SE = 4,6/√13 = 1,276

Test istatistiği

t = 4,85/1,276 = 3,802

Cevap

t = 3,802

df = 12 ile iki yönlü %5 kritik değeri 2,179; |t| daha büyük, yani H₀ reddedilir.

10.Hipotez testleri ve güven aralıkları

Cevap: U = 56,14

Ortalama testi: test istatistiği, örneklem ortalamasının H₀'da iddia edilen değerden kaç standart hata uzakta olduğunu ölçer: σ biliniyorsa z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), örneklemden tahmin ediliyorsa t = (x̄ − μ₀)/(s/√n). Güven aralığı x̄ ± (kritik değer)·(standart hata)'dır.

Hata payı

E = 2,576·8/√49 = 2,944

Aralık sınırı

U = 53,2 + 2,944 = 56,14

Cevap

U = 56,14

11.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: r² = 0,98

En küçük kareler regresyonu: x̄ ve ȳ ortalamalar olmak üzere Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² ve Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ise ŷ = a + b·x doğrusunun eğimi b = Sxy/Sxx ve kesişimi a = ȳ − b·x̄’dir; bu yüzden doğru her zaman (x̄, ȳ) noktasından geçer. Pearson korelasyon katsayısı r = Sxy/√(Sxx·Syy) −1 ile 1 arasındadır; r², y’deki değişimin doğru tarafından açıklanan oranıdır.

Ortalamalar

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 330/5 = 66

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1698

Belirlilik katsayısı

r² = 258²/(40·1698) = 0,98

Cevap

r² = 0,98

y’deki değişimin yaklaşık %98’ı doğru tarafından açıklanır.

12.Doğrusal regresyon ve korelasyon

Cevap: ŷ = 77,1

Ortalamalar

x̄ = 115/5 = 23

ȳ = 355/5 = 71

Kareler ve çarpımlar toplamları

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 366

Regresyon doğrusu

b = 366/90 = 4,067

a = 71 − 4,067·23 = −22,53

ŷ = −22,53 + 4,067·x

Tahmin

ŷ = −22,53 + 4,067·24,5 = 77,1

Cevap

ŷ = 77,1

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1